具体的公式
这部分内容来自供应链管理中的第十二章安全库存中的结论
假设第
i
i
i期的产品需求服从均值为
D
i
D_i
Di?、标准差为
σ
i
\sigma_i
σi?的正太分布且各期需求相互独立。假设提前期服从均值为
L
L
L，标准差为
s
L
s_L
sL?的正太分布。那么，提前期（不确定的）内的总需求服从均值为
D
L
D_L
DL?、标准差为
σ
L
\sigma_L
σL?的正太分布，其中：
D
L
=
D
?
L
,
σ
L
=
L
σ
D
2
+
D
2
s
L
2
D_L = D * L, \sigma_L = \sqrt{L\sigma_{D}^{2}+D^{2}s_{L}^{2}}
DL?=D?L,σL?=LσD2?+D2sL2?
?
以上公式的具体推导
假定需求量
Y
Y
Y有如下的表达式
Y
=
X
1
+
?
+
X
N
,
Y = X_1+\dots +X_N,
Y=X1?+?+XN?,
其中
X
i
～
N
(
D
i
,
σ
i
2
)
X_i \sim N(D_i, \sigma_i^{2})
Xi?～N(Di?,σi2?)
和
N
～
N
(
L
,
s
L
2
)
N\sim N(L,s_L^{2})
N～N(L,sL2?)
的分布。
现在来推到该公式。首先推导条件期望：
E
[
Y
∣
N
=
n
]
=
E
[
X
1
+
X
2
+
?
+
X
N
∣
N
=
n
]
=
E
[
X
1
+
X
2
+
?
+
X
n
]
=
n
E
[
X
]
E[Y|N=n] = E[X_1+X_2+\dots+X_N|N=n] \\ =E[X_1+X_2+\dots+X_n]\\ =nE[X]
E[Y∣N=n]=E[X1?+X2?+?+XN?∣N=n]=E[X1?+X2?+?+Xn?]=nE[X]
因此可以得到
E
[
Y
∣
N
]
=
E
[
X
1
+
X
2
+
?
+
X
N
∣
N
]
=
E
[
X
1
+
X
2
+
?
+
X
N
∣
N
]
=
N
E
[
X
]
E[Y|N] = E[X_1+X_2+\dots+X_N|N] \\ =E[X_1+X_2+\dots+X_N|N]\\ =NE[X]
E[Y∣N]=E[X1?+X2?+?+XN?∣N]=E[X1?+X2?+?+XN?∣N]=NE[X]
最后可以得到
E
[
Y
]
=
E
[
E
[
Y
∣
N
]
]
=
E
[
N
E
[
X
]
]
=
E
[
N
]
E
[
X
]
=
D
×
L
E[Y] = E[E[Y|N]] = E[NE[X]]=E[N]E[X]\\ =D\times L
E[Y]=E[E[Y∣N]]=E[NE[X]]=E[N]E[X]=D×L
即提前期（不确定的）内的总需求的期望
D
L
=
D
×
L
D_L=D \times L
DL?=D×L。
下面我们开始得到其方差。
同样我们先对条件形式的求方差
V
a
r
(
Y
∣
N
=
n
)
=
V
a
r
(
X
1
+
X
2
+
?
+
X
N
∣
N
=
n
)
=
V
a
r
(
X
1
+
?
+
X
n
∣
N
=
n
)
=
V
a
r
(
X
1
+
?
+
X
n
)
=
n
V
a
r
(
X
)
Var(Y|N=n) = Var(X_1+X_2+\dots+X_N|N=n)\\ =Var(X_1+\dots+X_n|N=n)\\ =Var(X_1+\dots+X_n)\\ =n Var(X)
Var(Y∣N=n)=Var(X1?+X2?+?+XN?∣N=n)=Var(X1?+?+Xn?∣N=n)=Var(X1?+?+Xn?)=nVar(X)
因此可以得到
V
a
r
(
Y
∣
N
)
=
N
V
a
r
(
X
)
Var(Y|N) =N Var(X)
Var(Y∣N)=NVar(X)
最后可以得到
V
a
r
(
Y
)
=
E
[
V
a
r
(
Y
∣
N
)
]
+
V
a
r
(
E
[
Y
∣
N
]
)
=
E
[
N
V
a
r
(
X
)
]
+
V
a
r
(
N
E
[
X
]
)
=
E
[
N
]
×
V
a
r
(
X
)
+
(
E
[
X
]
)
2
×
V
a
r
(
N
)
Var(Y) = E[Var(Y|N)]+Var(E[Y|N])\\ =E[NVar(X)]+Var(NE[X])\\ = E[N]\times Var(X)+(E[X])^{2}\times Var(N)
Var(Y)=E[Var(Y∣N)]+Var(E[Y∣N])=E[NVar(X)]+Var(NE[X])=E[N]×Var(X)+(E[X])2×Var(N)
附录（推导全方差公式）
待完善
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