[人工智能]泰勒级数理解

关于泰勒级数的一些理解

对于泰勒级数，其实大部分时候都不是很了解它其中的含义，怎么来的，其实大部分人都不是很清楚。（包括作者 ）

泰勒级数最多应用其实在计算机科学上，因为对于很多函数，我们不可能直接带值求解，比如$f(x)=e^x$,比如我带个2进去，你最多只能求得它的近似值，而且计算量还很大，而且还不是很精确，那么有人就想了，能不能用一个近似的函数，或者换句话说尽可能的去逼近这个函数的一个带有x的多项式呢，因为这样的话，比如说一个多项式$f(x)=x+x^2+x^3$你带一个2进去就可以算得一个比较精确的值13对吧。怎么去逼近呢。
先把公式摆出来再解释。

$$f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{f^{\prime (i)}(x_0)(x?x_0{)}^i}{i!}$$

我们先对分子着部分进行解释，可以看到这里是关于高阶求导的一个式子，其实我们可以看到，当i等于0的时候，式子就变成了$f(x_0)$,也就是可以这么理解，这个函数其实是从原函数$x_0$时开始逼近，，那么我们就以$x_0$为起点看一看怎么逼近的，首先我们得设一个$\Delta x$,这个$\Delta x\to 0$那么我们就可以通过导函数算出来$f(x_0+\Delta x)=f^{\prime }(x_0)?(\Delta x)+f(x_0)$因为 $\Delta x\to 0$，根据$\epsilon ?\delta$极限的定义，这一等式显然成立，那么实际上知道了$f(x+\Delta x)$那么实际上也可以通过同样的道理求出$f(x+2\Delta x)$,然后自己尝试着只用$x_0和x$进行表示，那么我们就可以得到上面分子的部分，但这里会存在误差，这也是接下来要讲的。

观察这个公式，我们可以看到，当这个式子展开的时候，其实这个式子正走向越来越高阶的导数函数(趋向于高阶无穷小)，（不太严谨的说法），这其实稍微理解一下也可以知道，对于一个有规律的函数，就例如幂函数，$sinx，cosx$其实都可以表达成类似这样的形式。

$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+...+a_N{x}^N$$

那我们对于这个函数进行一个求导。

进行连续的几次求导

图片来源（戳这里）

可以发现和原函数相比是不是多出了$i！$这个数，那么我们就要除去。

那这不就可以高高兴兴的去求$f(x)=e^x$

很明显这个无论是几阶导数都不就是$f^{\prime n}=e^x$

然后让上式的$x_0=0$，把泰勒公式往里套，那不就是

$$f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}$$

展开后的式子大家就很熟悉了。

$$f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}...+\frac{x^N}{N!}$$

很明显（bushi） 这里可以看到是从x=0开始逼近的（理论上，看到图片我也尴尬了）。