内容
Bessel 函数
Bessel 方程的引入
在柱坐标系 ( r , θ , z ) (r,\theta,z) (r,θ,z) 下 Helmholtz 方程 ( ? 2 + k 2 ) u = 0 (\nabla^2+k^2)u=0 (?2+k2)u=0 写为
[ 1 r d d r ( r d d r ) + 1 r 2 d 2 d θ 2 + d 2 d z 2 + k 2 ] u ( r , θ , z ) = 0 \left[\frac{1}{r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}r}\left(r\frac{{\rm d}}{{\rm d}r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}\theta^2}+\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}z^2}+k^2\right]u(r,\theta,z)=0 [r1?drd?(rdrd?)+r21?dθ2d2?+dz2d2?+k2]u(r,θ,z)=0
分离变量 u ( r , θ , z ) = R ( r ) Θ ( θ ) Z ( z ) u(r,\theta,z)=R(r)\Theta(\theta)Z(z) u(r,θ,z)=R(r)Θ(θ)Z(z) 就得到
{ d 2 Z ( z ) d z 2 + λ Z ( z ) = 0 d 2 Θ ( θ ) d θ 2 + μ Θ ( θ ) = 0 1 r d d r ( r d R ( r ) d r ) + ( k 2 ? λ ? μ r 2 ) R ( r ) = 0 \begin{cases} \cfrac{{\rm d}^2Z(z)}{{\rm d}z^2}+\lambda{Z}(z)=0\\ \cfrac{{\rm d}^2\Theta(\theta)}{{\rm d}\theta^2}+\mu\Theta(\theta)=0\\ \cfrac{1}{r}\cfrac{{\rm d}}{{\rm d}r}\left(r\cfrac{{\rm d}R(r)}{{\rm d}r}\right)+\left(k^2-\lambda-\cfrac{\mu}{r^2}\right)R(r)=0 \end{cases} ????????????????dz2d2Z(z)?+λZ(z)=0dθ2d2Θ(θ)?+μΘ(θ)=0r1?drd?(rdrdR(r)?)+(k2?λ?r2μ?)R(r)=0?
其中
λ
,
μ
\lambda,\mu
λ,μ 是分离变量产生的参数，记
μ
=
ν
2
\mu=\nu^2
μ=ν2 。前两个方程容易求解，第三个方程在
k
2
?
λ
=
0
k^2-\lambda=0
k2?λ=0 时也容易解出
R
(
r
)
=
A
r
ν
+
B
r
?
ν
R(r)=Ar^{\nu}+Br^{-\nu}
R(r)=Arν+Br?ν 。
如果
k
2
?
λ
k^2-\lambda
k2?λ 非零，关于
R
(
r
)
R(r)
R(r) 的方程作换元
x
=
r
k
2
?
λ
x=r\sqrt{k^2-\lambda}
x=rk2?λ? ，记
R
(
r
)
=
y
(
x
)
R(r)=y(x)
R(r)=y(x) 就得到
1 x d d x ( x d y ( x ) d x ) + ( 1 ? ν 2 x 2 ) y ( x ) = 0 \frac{1}{x}\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(x\frac{{\rm d}y(x)}{{\rm d}x}\right)+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y(x)=0 x1?dxd?(xdxdy(x)?)+(1?x2ν2?)y(x)=0
称为 ν \nu ν 阶 Bessel 方程 。以下先讨论 Bessel 方程解的性质，再介绍它在分离变量法中的应用。
Bessel 方程解的性质
先在复数域上讨论Bessel方程，已将其写成
d 2 w ( z ) d z 2 + 1 z d w ( z ) d z + ( 1 ? ν 2 z 2 ) w ( z ) = 0 \frac{{\rm d}^2w(z)}{{\rm d}z^2}+\frac{1}{z}\frac{{\rm d}w(z)}{{\rm d}z}+\left(1-\frac{\nu^2}{z^2}\right)w(z)=0 dz2d2w(z)?+z1?dzdw(z)?+(1?z2ν2?)w(z)=0
约定 R e ? ν > 0 {\rm Re}\,\nu>0 Reν>0 。
根据常微分方程的幂级数解法理论，由 p ( z ) = z ? 1 p(z)=z^{-1} p(z)=z?1 ， q ( z ) = 1 ? ν 2 z ? 2 q(z)=1-\nu^2z^{-2} q(z)=1?ν2z?2 知道
- z = 0 z=0 z=0 是方程的正则奇点
- z = ∞ z=\infty z=∞ 是方程的非正则奇点
z = 0 z=0 z=0 处指标 ρ = ± ν \rho=\pm{\nu} ρ=±ν 。 ν ? Z \nu\notin\mathbb{Z} ν∈/?Z 时方程的两线性无关解可以写为
w 1 , 2 ( z ) = J ± ν ( z ) ≡ ∑ k = 0 + ∞ ( ? 1 ) k k ! Γ ( k ± ν + 1 ) ( z 2 ) 2 k ± ν w_{1,2}(z)=J_{\pm{\nu}}(z)\equiv\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k\pm{\nu}+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k\pm{\nu}} w1,2?(z)=J±ν?(z)≡k=0∑+∞?k!Γ(k±ν+1)(?1)k?(2z?)2k±ν
而如果 ν ∈ Z \nu\in\mathbb{Z} ν∈Z ， J ± ν J_{\pm{\nu}} J±ν? 就线性相关，这是因为
J ? ν ( z ) = ∑ k = ν + ∞ ( ? 1 ) k k ! Γ ( k ? ν + 1 ) ( z 2 ) 2 k ? ν = ∑ l = 0 + ∞ ( ? 1 ) l + ν l ! Γ ( l + ν + 1 ) ( z 2 ) 2 l + ν = ( ? 1 ) ν J ν ( z ) J_{-\nu}(z)=\sum_{\color{DarkRed}{k=\nu}}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k-\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k-\nu}=\sum_{l=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{l+\nu}}{l!\Gamma(l+\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2l+\nu}=(-1)^{\nu}J_{\nu}(z) J?ν?(z)=k=ν∑+∞?k!Γ(k?ν+1)(?1)k?(2z?)2k?ν=l=0∑+∞?l!Γ(l+ν+1)(?1)l+ν?(2z?)2l+ν=(?1)νJν?(z)
注意 Γ ( ? n ) = ∞ ? n ≥ 0 , n ∈ Z \Gamma(-n)=\infty\quad\forall{n}\geq{0},n\in\mathbb{Z} Γ(?n)=∞?n≥0,n∈Z 。
特别地 ν = 0 \nu=0 ν=0 时 J ± ν ( z ) J_{\pm{\nu}}(z) J±ν?(z) 相同。以上表明 ν \nu ν 为非负整数 n n n 时 Bessel 方程的第二解要采取对数形式
w 2 ( z ) = g J n ( z ) ln ? z + ∑ k = 0 + ∞ d k z k ? n w_2(z)=gJ_n(z)\ln{z}+\sum_{k=0}^{+\infty}d_kz^{k-n} w2?(z)=gJn?(z)lnz+k=0∑+∞?dk?zk?n
Neumann 函数的构造
事实上如果知道二阶ODE的一个解 w 1 ( z ) w_1(z) w1?(z) ，可以通过方程的系数求另一解 w 2 w_2 w2?：
( w 1 w 2 ′ ? w 2 w 1 ′ ) ′ w 1 w 2 ′ ? w 2 w 1 ′ = ? p ( z ) w 1 w 2 ′ ? w 2 w 1 ′ = A exp ? ( ? ∫ z p ( ξ ) d ξ ) \begin{aligned} &\frac{(w_1w_2'-w_2w_1')'}{w_1w_2'-w_2w_1'}=-p(z)\\ &{w}_1w_2'-w_2w_1'=A\exp\left(-\int^zp(\xi){\rm d\xi}\right) \end{aligned} ?w1?w2′??w2?w1′?(w1?w2′??w2?w1′?)′?=?p(z)w1?w2′??w2?w1′?=Aexp(?∫zp(ξ)dξ)?
具体地，可以算出
W r o n s k i [ J ν , J ? ν ] ≡ ∣ J ν J ν ′ J ? ν J ? ν ′ ∣ = ? 2 π z sin ? π ν {\rm Wronski}[J_{\nu},J_{-\nu}]\equiv\begin{vmatrix}J_{\nu}&J_{\nu}'\\J_{-\nu}&J_{-\nu}'\end{vmatrix}=-\frac{2}{\pi{z}}\sin\pi\nu Wronski[Jν?,J?ν?]≡∣∣∣∣?Jν?J?ν??Jν′?J?ν′??∣∣∣∣?=?πz2?sinπν
当 ν = 0 , 1 , 2 , ? ∈ N \nu=0,1,2,\cdots\in\mathbb{N} ν=0,1,2,?∈N ， W r o n s k i [ J ν , J ? ν ] ～ sin ? n π = 0 {\rm Wronski}[J_{\nu},J_{-\nu}]\sim\sin{n}\pi=0 Wronski[Jν?,J?ν?]～sinnπ=0 。设 w 2 ( z ) = c 1 J ν ( z ) + c 2 J ? ν ( z ) w_2(z)=c_1J_{\nu}(z)+c_2J_{-\nu}(z) w2?(z)=c1?Jν?(z)+c2?J?ν?(z) ，考虑
W r o n s k i [ J ν , w 2 ] = W r o n s k i [ J ν , c 2 J ? ν ] = ? 2 c 2 π z sin ? π ν {\rm Wronski}[J_{\nu},w_2]={\rm Wronski}[J_{\nu},c_2J_{-\nu}]=-\frac{2c_2}{\pi{z}}\sin\pi\nu Wronski[Jν?,w2?]=Wronski[Jν?,c2?J?ν?]=?πz2c2??sinπν
取 c 2 = ? 1 sin ? π ν c_2=-\cfrac{1}{\sin\pi\nu} c2?=?sinπν1? ，Wronski 行列式就非零，找到了线性无关的第二解：
w 2 ( z ) = c J ν ( z ) ? J ? ν ( z ) sin ? π ν w_2(z)=\frac{cJ_{\nu}(z)-J_{-\nu}(z)}{\sin\pi\nu} w2?(z)=sinπνcJν?(z)?J?ν?(z)?
考虑到 J ? n ( z ) = ( ? 1 ) n J n ( z ) J_{-n}(z)=(-1)^nJ_n(z) J?n?(z)=(?1)nJn?(z) ，为了使 w 2 ( z ) w_2(z) w2?(z) 在 ν \nu ν 为整数也有意义，取 c = cos ? π ν c=\cos\pi\nu c=cosπν 。这样就得到 Neumann 函数
N ν ( z ) ≡ cos ? π ν J ν ( z ) ? J ? ν ( z ) sin ? π ν N_\nu(z)\equiv\frac{\cos\pi\nu{J}_{\nu}(z)-J_{-\nu}(z)}{\sin\pi\nu} Nν?(z)≡sinπνcosπνJν?(z)?J?ν?(z)?
ν \nu ν 为整数 n n n 时
N n ( z ) = lim ? ν → n N ν ( z ) = L ′ H 2 π J n ( z ) ln ? z 2 ? 1 π S 1 ? 1 π S 2 S 1 = ∑ k = 0 n ? 1 ( n ? k ? 1 ) ! k ! ( z 2 ) 2 k ? n ( n ≥ 1 ) S 2 = ∑ k = 0 + ∞ ( ? 1 ) k k ! ( k + n ) ! ( ψ ( n + k + 1 ) + ψ ( k + 1 ) ) ( z 2 ) 2 k + n \begin{aligned} N_{n}(z)&=\lim_{\nu\to{n}}N_{\nu}(z)\overset{L'H}{=}\frac{2}{\pi}J_n(z)\ln\frac{z}{2}-\frac{1}{\pi}S_1-\frac{1}{\pi}S_2\\ S_1&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k-n}\quad(n\geq{1})\\ S_2&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!(k+n)!}\Big(\psi(n+k+1)+\psi(k+1)\Big)\left(\frac{z}{2}\right)^{2k+n} \end{aligned} Nn?(z)S1?S2??=ν→nlim?Nν?(z)=L′Hπ2?Jn?(z)ln2z??π1?S1??π1?S2?=k=0∑n?1?k!(n?k?1)!?(2z?)2k?n(n≥1)=k=0∑+∞?k!(k+n)!(?1)k?(ψ(n+k+1)+ψ(k+1))(2z?)2k+n?
ψ \psi ψ 是 Γ \Gamma Γ 函数的对数微分。
Bessel 函数和 Neumann 函数的性质
零点和渐近特性
除了
J
0
(
0
)
=
1
J_0(0)=1
J0?(0)=1 以外
J
ν
(
0
)
=
0
J_{\nu}(0)=0
Jν?(0)=0 ；
N
ν
(
0
)
N_{\nu}(0)
Nν?(0) 全部发散。
这样，如果实际问题要求
u
∣
r
=
0
u|_{r=0}
u∣r=0? 有界（很常见），边值问题解的径向部分就只含有
{
J
ν
(
x
)
}
\{J_{\nu}(x)\}
{Jν?(x)} 。
事实上可以证明
J ν ( z ) = 1 Γ ( ν + 1 ) ( z 2 ) ν + O ( z ν + 2 ) ( z → 0 ) J ν ( z ) ～ 2 π z cos ? ( z ? ν π 2 ? π 4 ) ( z → ∞ ) N ν ( z ) ～ ? Γ ( ν ) π ( z 2 ) ? ν ( z → 0 ) N ν ( z ) ～ 2 π z sin ? ( z ? ν π 2 ? π 4 ) ( z → ∞ ) \begin{aligned} J_{\nu}(z)&=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}+O(z^{\nu+2})&\quad(z\to{0})\\ J_{\nu}(z)&\sim\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}\cos\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)&\quad(z\to\infty)\\ N_{\nu}(z)&\sim-\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\left(\frac{z}{2}\right)^{-\nu}&\quad(z\to{0})\\ N_{\nu}(z)&\sim\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}\sin\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)&\quad(z\to\infty) \end{aligned} Jν?(z)Jν?(z)Nν?(z)Nν?(z)?=Γ(ν+1)1?(2z?)ν+O(zν+2)～πz2??cos(z?2νπ??4π?)～?πΓ(ν)?(2z?)?ν～πz2??sin(z?2νπ??4π?)?(z→0)(z→∞)(z→0)(z→∞)?
特别地有 N 0 ( x ) ～ 2 π ln ? x 2 N_0(x)\sim\cfrac{2}{\pi}\ln\cfrac{x}{2} N0?(x)～π2?ln2x? 。它在 x = 0 x=0 x=0 也发散。
多值性
约定 J ν , N ν J_{\nu},N_{\nu} Jν?,Nν? 的定义
J ν ( z ) = ∑ k = 0 + ∞ ( ? 1 ) k k ! Γ ( k + ν + 1 ) ( z 2 ) 2 k + ν N ν ( z ) = cos ? π ν J ν ( z ) ? J ? ν ( z ) sin ? π ν \begin{aligned} J_{\nu}(z)&=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k+\nu}\\ N_\nu(z)&=\frac{\cos\pi\nu{J}_{\nu}(z)-J_{-\nu}(z)}{\sin\pi\nu} \end{aligned} Jν?(z)Nν?(z)?=k=0∑+∞?k!Γ(k+ν+1)(?1)k?(2z?)2k+ν=sinπνcosπνJν?(z)?J?ν?(z)??
只适用于 ∣ arg ? z ∣ < π |\arg{z}|<\pi ∣argz∣<π 范围。
递推关系
d d z [ z ν J ν ( z ) ] = z ν J ν ? 1 ( z ) ( 1 ) d d z [ z ? ν J ν ( z ) ] = ? z ? ν J ν + 1 ( z ) ( 2 ) \begin{aligned} &\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[z^{\nu}J_{\nu}(z)\right]=z^{\nu}J_{\nu-1}(z)&\quad(1)\\ &\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[z^{-\nu}J_{\nu}(z)\right]=-z^{-\nu}J_{\nu+1}(z)&\quad(2) \end{aligned} ?dzd?[zνJν?(z)]=zνJν?1?(z)dzd?[z?νJν?(z)]=?z?νJν+1?(z)?(1)(2)?
利用 Bessel 函数的级数展开可以验证。级数在全平面收敛，从而可以逐项求导
d d z J ν ( z ) = d d z ∑ k = 0 + ∞ ( ? 1 ) k Γ ( k + ν + 1 ) ( z 2 ) 2 k + ν z ν = ∑ k = 0 + ∞ ( ? 1 ) k Γ ( k + ν ) ( z 2 ) 2 k + ( ν ? 1 ) z ν = z ν J ν ? 1 ( z ) \begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}z}J_{\nu}(z)&=\frac{\rm d}{{\rm d}z}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k+\nu}z^{\nu}\\ &=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\Gamma(k+\nu)}\left(\frac{z}{2}\right)^{2k+(\nu-1)}z^{\nu}\\ &=z^{\nu}J_{\nu-1}(z) \end{aligned} dzd?Jν?(z)?=dzd?k=0∑+∞?Γ(k+ν+1)(?1)k?(2z?)2k+νzν=k=0∑+∞?Γ(k+ν)(?1)k?(2z?)2k+(ν?1)zν=zνJν?1?(z)?
将左边的微分项打开，得到 J ν ′ , J ν , J ν ± 1 J_{\nu}',J_{\nu},J_{\nu\pm{1}} Jν′?,Jν?,Jν±1? 之间的两个递推关系。分别消去 J ν J_{\nu} Jν? 或 J ν ′ J_{\nu}' Jν′? 就得到
J ν ? 1 ( z ) ? J ν + 1 ( z ) = 2 J ν ′ ( z ) ( 3 ) J ν ? 1 ( z ) + J ν + 1 ( z ) = 2 ν z J ν ( z ) ( 4 ) \begin{aligned} J_{\nu-1}(z)-J_{\nu+1}(z)&=2J_{\nu}'(z)&\quad(3)\\ J_{\nu-1}(z)+J_{\nu+1}(z)&=\frac{2\nu}{z}J_{\nu}(z)&\quad(4) \end{aligned} Jν?1?(z)?Jν+1?(z)Jν?1?(z)+Jν+1?(z)?=2Jν′?(z)=z2ν?Jν?(z)?(3)(4)?
- 任意整数阶的 Bessel 函数
J
n
(
z
)
J_n(z)
Jn?(z) 都可以用
J
0
,
J
1
J_0,J_1
J0?,J1? 表出。
例如 J 0 ′ ( z ) = ? J 1 ( z ) J_0'(z)=-J_1(z) J0′?(z)=?J1?(z) 。 - 递推关系 ( 1 ) , ( 2 ) (1),(2) (1),(2) 适合用于计算形如 ∫ x a J ν ( x ) d x \int{x}^aJ_{\nu}(x){\rm d}x ∫xaJν?(x)dx 的积分。
类似地可以验证， Neumann 函数也有一样的递推关系
d d z [ z ν N ν ( z ) ] = z ν N ν ? 1 ( z ) d d z [ z ? ν N ν ( z ) ] = ? z ? ν N ν + 1 ( z ) \begin{aligned} &\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[z^{\nu}N_{\nu}(z)\right]=z^{\nu}N_{\nu-1}(z)\\ &\frac{{\rm d}}{{\rm d}z}\left[z^{-\nu}N_{\nu}(z)\right]=-z^{-\nu}N_{\nu+1}(z) \end{aligned} ?dzd?[zνNν?(z)]=zνNν?1?(z)dzd?[z?νNν?(z)]=?z?νNν+1?(z)?
柱函数
满足递推关系
d
d
z
[
z
ν
C
ν
(
z
)
]
=
z
ν
C
ν
?
1
(
z
)
d
d
z
[
z
?
ν
C
ν
(
z
)
]
=
?
z
?
ν
C
ν
+
1
(
z
)
\begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}z}\left[z^\nu{C}_\nu(z)\right]=z^{\nu}C_{\nu-1}(z)\\ &\frac{\rm d}{{\rm d}z}\left[z^{-\nu}C_{\nu}(z)\right]=-z^{-\nu}C_{\nu+1}(z) \end{aligned}
?dzd?[zνCν?(z)]=zνCν?1?(z)dzd?[z?νCν?(z)]=?z?νCν+1?(z)?
的
C
ν
(
z
)
C_{\nu}(z)
Cν?(z) 称为 柱函数 。可以证明柱函数一定是对应阶 Bessel 方程的解。
- Bessel 函数 J ν ( z ) J_{\nu}(z) Jν?(z) 称为 第一类柱函数
- Neumann 函数 N ν ( z ) N_{\nu}(z) Nν?(z) 称为 第二类柱函数
- Hankel 函数 H ν ( z ) H_{\nu}(z) Hν?(z) 称为 第三类柱函数
J ν ( z ) ～ 2 π z cos ? ( z ? ν π 2 ? π 4 ) N ν ( z ) ～ 2 π z sin ? ( z ? ν π 2 ? π 4 ) H ν ( 1 ) ( z ) ≡ J ν ( z ) + i N ν ( z ) ～ 2 π z e i ( z ? ν π 2 ? π 4 ) H ν ( 2 ) ( z ) ≡ J ν ( z ) ? i N ν ( z ) ～ 2 π z e ? i ( z ? ν π 2 ? π 4 ) \begin{aligned} J_{\nu}(z)&\sim\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}\cos\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\\ N_{\nu}(z)&\sim\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}\sin\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\\ H_{\nu}^{(1)}(z)&\equiv{J}_{\nu}(z)+iN_{\nu}(z)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}e^{i\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}\\ H_{\nu}^{(2)}(z)&\equiv{J}_{\nu}(z)-iN_{\nu}(z)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}e^{-i\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}\\ \end{aligned} Jν?(z)Nν?(z)Hν(1)?(z)Hν(2)?(z)?～πz2??cos(z?2νπ??4π?)～πz2??sin(z?2νπ??4π?)≡Jν?(z)+iNν?(z)～πz2??ei(z?2νπ??4π?)≡Jν?(z)?iNν?(z)～πz2??e?i(z?2νπ??4π?)?
如果时间因子选为 e ? i ω t e^{-i\omega{t}} e?iωt ， Hankel 函数 H ( 1 ) ( z ) , H ( 2 ) ( z ) H^{(1)}(z),H^{(2)}(z) H(1)(z),H(2)(z) 分别只包含 发散波 和 汇聚波 成分。有时处理的问题中只包含发散波或汇聚波，或者希望明确区分这两种成分。使用 Hankel 函数在此时比较方便。
容易验证 Hankel 函数也满足以上递推关系和 Bessel 方程。
特殊的 Bessel 函数
整数阶 Bessel 函数
Bessel 方程的参数 μ = ν 2 \mu=\nu^2 μ=ν2 通常来自柱坐标系下角向的本征值问题
Θ ′ ′ + μ Θ = 0 Θ ( 0 ) = Θ ( 2 π ) , ? Θ ′ ( 0 ) = Θ ′ ( 2 π ) μ = m 2 , ? m = 0 , 1 , 2 , ? \begin{aligned} &\Theta''+\mu\Theta=0\\ &\Theta(0)=\Theta(2\pi),\ \Theta'(0)=\Theta'(2\pi)\\ &\mu=m^2,\ m=0,1,2,\cdots \end{aligned} ?Θ′′+μΘ=0Θ(0)=Θ(2π),?Θ′(0)=Θ′(2π)μ=m2,?m=0,1,2,??
所以整数阶 Bessel 函数值得特别介绍。
生成函数
exp ? [ z 2 ( t ? 1 t ) ] = ∑ n = ? ∞ + ∞ J n ( z ) t n , 0 < ∣ t ∣ < ∞ \exp\left[\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_{n}(z)t^n,\quad0<|t|<\infty exp[2z?(t?t1?)]=n=?∞∑+∞?Jn?(z)tn,0<∣t∣<∞
令 t = i e i θ t=ie^{i\theta} t=ieiθ ，就得到
e i z cos ? θ = ∑ n = ? ∞ + ∞ J n ( z ) i n e i n θ = J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 + ∞ i n J n ( z ) cos ? n θ e^{iz\cos\theta}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)i^ne^{in\theta}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^{+\infty}i^nJ_n(z)\cos{n\theta} eizcosθ=n=?∞∑+∞?Jn?(z)ineinθ=J0?(z)+2n=1∑+∞?inJn?(z)cosnθ
其中用到 i n J n ( z ) = i n ( ? 1 ) n J ? n ( z ) = i ? n J ? n ( z ) i^nJ_{n}(z)=i^{n}(-1)^nJ_{-n}(z)=i^{-n}J_{-n}(z) inJn?(z)=in(?1)nJ?n?(z)=i?nJ?n?(z) 。
进一步令 z = k r z=kr z=kr ，并取时间因子为 e ? i ω t e^{-i\omega{t}} e?iωt ，把 r , θ r,\theta r,θ 理解为柱坐标系中的坐标变量，上式的意义就是 单色平面波 按 柱面波 展开。这是因为
- e i ( k r cos ? θ ? ω t ) e^{i(kr\cos\theta-\omega{t})} ei(krcosθ?ωt) 的等相面是
k r cos ? θ ≡ k e ^ x ? r = c o n s t . kr\cos\theta\equiv{k}\boldsymbol{\hat e}_x\cdot\boldsymbol{r}={\rm const.} krcosθ≡ke^x??r=const.
这是沿 x x x 轴正方向传播的平面波。
- 利用渐近关系看出 J n ( k r ) J_n(kr) Jn?(kr) 表示的确实是柱面波：
J
n
(
k
r
)
～
2
π
k
r
cos
?
(
k
r
?
n
π
2
?
π
4
)
J_{n}(kr)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi{kr}}}\cos\left(kr-\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
Jn?(kr)～πkr2??cos(kr?2nπ??4π?)
等相面
k
r
=
k
?
r
=
c
o
n
s
t
.
kr=\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}={\rm const.}
kr=k?r=const. 。
积分表示
令 t = e i θ t=e^{i\theta} t=eiθ 代入就得到
e
i
z
sin
?
θ
=
∑
n
=
?
∞
+
∞
J
n
(
z
)
e
i
n
θ
e^{iz\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_{n}(z)e^{in\theta}
eizsinθ=n=?∞∑+∞?Jn?(z)einθ
表明
J
n
(
z
)
J_n(z)
Jn?(z) 是
e
i
z
sin
?
θ
e^{iz\sin\theta}
eizsinθ Fourier 分量
e
i
n
θ
e^{in\theta}
einθ 的展开系数。
利用 Fourier 系数的定义有
J
n
(
z
)
=
1
2
π
∫
?
π
π
e
i
z
sin
?
θ
e
?
i
n
θ
d
θ
J_n(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{iz\sin\theta}e^{-in\theta}{\rm d}\theta
Jn?(z)=2π1?∫?ππ?eizsinθe?inθdθ
被积函数是复的，但虚部是奇函数，只有实部对结果有贡献。这样就得到 Bessel 函数的积分表示
J n ( z ) = 1 π ∫ 0 π cos ? ( z sin ? θ ? n θ ) d θ J_{n}(z)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(z\sin\theta-n\theta){\rm d}\theta Jn?(z)=π1?∫0π?cos(zsinθ?nθ)dθ
利用这个结果可以方便地计算 J n ( x ) J_{n}(x) Jn?(x) 的 Laplace 变换。
虚宗量 Bessel 函数
Helmholtz 方程在 k = 0 k=0 k=0 时变为 Laplace 方程。径向问题的方程是
1 r d d r ( r d R ( r ) d r ) + ( k 2 ? λ ? μ r 2 ) R ( r ) = 0 \frac{1}{r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}r}\left(r\frac{{\rm d}R(r)}{{\rm d}r}\right)+\left(k^2-\lambda-\frac{\mu}{r^2}\right)R(r)=0 r1?drd?(rdrdR(r)?)+(k2?λ?r2μ?)R(r)=0
k = 0 k=0 k=0 时令 x = i λ r x=i\sqrt{\lambda}r x=iλ?r ， R ( r ) ≡ y ( x ) R(r)\equiv{y}(x) R(r)≡y(x) 就再次得到 Bessel 方程
1
x
d
d
x
(
x
d
d
x
y
(
x
)
)
+
(
1
?
ν
2
x
2
)
y
(
x
)
=
0
\frac{1}{x}\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(x\frac{\rm d}{{\rm d}x}y(x)\right)+\left(1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y(x)=0
x1?dxd?(xdxd?y(x))+(1?x2ν2?)y(x)=0
其中
μ
=
ν
2
\mu=\nu^2
μ=ν2 。
这表明 Laplace 径向问题的解为
R
(
r
)
=
c
J
ν
(
i
λ
r
)
+
d
N
ν
(
i
λ
r
)
R(r)=cJ_{\nu}(i\sqrt{\lambda}r)+dN_{\nu}(i\sqrt{\lambda}r)
R(r)=cJν?(iλ?r)+dNν?(iλ?r)
注意到柱函数的宗量都是纯虚数。另一方面，计算
J ν ( i x ) = ∑ k = 0 + ∞ ( ? 1 ) k k ! Γ ( k + ν + 1 ) ( i x 2 ) 2 k + ν = ∑ k = 0 + ∞ i ν Γ ( k + ν + 1 ) ( x 2 ) 2 k + ν J_{\nu}(ix)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{ix}{2}\right)^{2k+\nu}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{i^\nu}{\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu} Jν?(ix)=k=0∑+∞?k!Γ(k+ν+1)(?1)k?(2ix?)2k+ν=k=0∑+∞?Γ(k+ν+1)iν?(2x?)2k+ν
i ν i^{\nu} iν 应该理解为 e i π ν / 2 e^{i\pi\nu/2} eiπν/2 ，下同。
方便起见，定义 I ν ( x ) ≡ i ? ν J ν ( i x ) I_{\nu}(x)\equiv{i}^{-\nu}J_{\nu}(ix) Iν?(x)≡i?νJν?(ix) ，称为 第一类虚宗量 Bessel 函数 。它是 虚宗量 Bessel 方程 的解：
1 x d d x ( x d d x y ( x ) ) + ( ? 1 ? ν 2 x 2 ) y ( x ) = 0 \frac{1}{x}\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(x\frac{\rm d}{{\rm d}x}y(x)\right)+\left(-1-\frac{\nu^2}{x^2}\right)y(x)=0 x1?dxd?(xdxd?y(x))+(?1?x2ν2?)y(x)=0
经过类似的讨论可以知道 I ± ν ( x ) I_{\pm\nu}(x) I±ν?(x) 在 ν ? Z \nu\notin\mathbb{Z} ν∈/?Z 时线性无关，而
I ? n ( x ) = i n J ? n ( i x ) = i ? n J n ( i x ) = I n ( x ) I_{-n}(x)=i^{n}J_{-n}(ix)=i^{-n}J_n(ix)=I_n(x) I?n?(x)=inJ?n?(ix)=i?nJn?(ix)=In?(x)
此处用到 J ? n ( z ) = ( ? 1 ) n J n ( z ) J_{-n}(z)=(-1)^nJ_n(z) J?n?(z)=(?1)nJn?(z)
虚宗量 Bessel 方程的第二解可以取为 McDonald 函数
K
ν
(
x
)
=
π
sin
?
π
ν
[
I
?
ν
(
x
)
?
I
ν
(
x
)
]
K_{\nu}(x)=\frac{\pi}{\sin\pi\nu}\Big[I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)\Big]
Kν?(x)=sinπνπ?[I?ν?(x)?Iν?(x)]
它也叫 第二类虚宗量 Bessel 函数 。
ν
\nu
ν 为整数时它（在极限的意义上）依然有定义。利用 Wronski 行列式的方法可以类似地说明它和
I
±
n
(
x
)
I_{\pm{n}}(x)
I±n?(x) 线性无关。
渐近行为
可以证明
∣ I ν ( 0 ) ∣ < ∞ K ν ( 0 ) ? 发散 I ν ( x ) ～ 1 2 π x e x K ν ( x ) ～ π 2 x e ? x \begin{aligned} &|I_{\nu}(0)|<\infty\\ &K_{\nu}(0)\,\text{发散}\\ &I_{\nu}(x)\sim\sqrt{\frac{1}{2\pi{x}}}e^{x}\\ &K_{\nu}(x)\sim\sqrt{\frac{\pi}{2x}}e^{-x} \end{aligned} ?∣Iν?(0)∣<∞Kν?(0)发散Iν?(x)～2πx1??exKν?(x)～2xπ??e?x?
应用举例
柱坐标系下的 Laplace 边值问题
? 2 u = 0 u ∣ θ = 0 = u ∣ θ = 2 π , ? u ? θ ∣ θ = 0 = ? u ? θ ∣ θ = 2 π u ∣ z = 0 = 0 , u ∣ z = h = 0 u ∣ r = 0 ? 有界 , u ∣ r = a = f ( θ , z ) \begin{aligned} &\nabla^2u=0\\ &u\big|_{\theta=0}=u\big|_{\theta=2\pi},&\qquad\frac{\partial{u}}{\partial{\theta}}\Big|_{\theta=0}=\frac{\partial{u}}{\partial{\theta}}\Big|_{\theta=2\pi}\\ &u\big|_{z=0}=0,\qquad&u\big|_{z=h}=0\\ &u\big|_{r=0}\,\text{有界},\qquad&u\big|_{r=a}=f(\theta,z) \end{aligned} ??2u=0u∣∣?θ=0?=u∣∣?θ=2π?,u∣∣?z=0?=0,u∣∣?r=0?有界,??θ?u?∣∣∣?θ=0?=?θ?u?∣∣∣?θ=2π?u∣∣?z=h?=0u∣∣?r=a?=f(θ,z)?
的一般解为
u ( r , θ , z ) = ∑ m = 0 + ∞ ∑ n = 1 + ∞ ( A m n cos ? m θ + B m n sin ? m θ ) I m ( n π h r ) sin ? ( n π h z ) u(r,\theta,z)=\sum_{m=0}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}(A_{mn}\cos{m\theta}+B_{mn}\sin{m\theta})I_m\left(\frac{n\pi}{h}r\right)\sin\left(\frac{n\pi}{h}z\right) u(r,θ,z)=m=0∑+∞?n=1∑+∞?(Amn?cosmθ+Bmn?sinmθ)Im?(hnπ?r)sin(hnπ?z)
半奇数阶 Bessel 函数
由于 J ± 1 / 2 J_{\pm{1/2}} J±1/2? 是初等函数：
J 1 / 2 ( z ) = 2 π z sin ? z J ? 1 / 2 ( z ) = 2 π z cos ? z \begin{aligned} J_{1/2}(z)&=\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}\sin{z}\\ J_{-1/2}(z)&=\sqrt{\frac{2}{\pi{z}}}\cos{z} \end{aligned} J1/2?(z)J?1/2?(z)?=πz2??sinz=πz2??cosz?
利用递推关系就推出： 所有半奇数阶的 Bessel 函数都是初等函数 。而所有半奇数阶 Neumann 函数事实上都可以写成半奇数阶 Bessel 函数。
半奇数阶 Bessel 函数的意义并不只在此，它还在球 Bessel 函数中有应用。