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设
M
=
{
f
:
[
0
,
1
]
→
R
:
f
单
调
增
}
?
C
(
[
0
,
1
]
,
R
)
M=\{f:[0,1]\rightarrow \R: f 单调增\}\subset C([0, 1],\R)
M={f:[0,1]→R:f单调增}?C([0,1],R).
M
M
M上定义上确界范数，则
M
M
M是 Banach 空间。令
L
x
,
R
x
L_x,R_x
Lx?,Rx? 分别表示左右极限算子，不难证明则它们是连续线性泛函。令
D
x
=
L
x
?
R
x
D_x = L_x - R_x
Dx?=Lx??Rx?.
f
f
f在
x
x
x不连续等价于
D
x
(
f
)
≠
0
D_x(f)\neq 0
Dx?(f)?=0.
令
N
=
{
f
∈
M
:
f
至
多
有
可
数
个
不
连
续
点
}
N=\{f\in M: f 至多有可数个不连续点\}
N={f∈M:f至多有可数个不连续点}，则
N
N
N是
M
M
M的子空间。我们证明：
-
N
N
N是
M
M
M的闭子空间
-
N
N
N在
M
M
M中稠密
从而
N
=
M
N=M
N=M.
对于1， 设
f
∈
N
￣
f\in \overline{N}
f∈N，则存在
(
f
n
)
∈
N
(f_n)\in N
(fn?)∈N,
f
n
→
f
f_n\rightarrow f
fn?→f，由
D
x
D_x
Dx? 连续得若
D
x
(
f
n
)
=
0
D_x(f_n) = 0
Dx?(fn?)=0，对任意
n
n
n，则
D
x
(
f
)
=
0
D_x(f)=0
Dx?(f)=0. 因此
{
x
:
D
x
(
f
)
≠
0
}
?
∪
n
{
x
:
D
x
(
f
n
)
≠
0
}
\{x:D_x(f)\neq 0\}\subset \cup_{n} \{x:D_x(f_n) \neq 0\}
{x:Dx?(f)?=0}?∪n?{x:Dx?(fn?)?=0}，由假设，前者是可数的，因此
f
∈
N
f\in N
f∈N.
对于2，令
S
S
S为
[
0
,
1
]
[0,1]
[0,1]上的单调增阶梯函数集合，则
S
?
N
S\subset N
S?N，只需证明
S
S
S 稠即可。对任意
f
∈
M
f\in M
f∈M，令
g
=
∑
k
=
?
∞
∞
k
n
1
{
x
∈
[
0
,
1
]
:
k
?
1
n
≤
f
<
k
n
}
g = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac kn \mathbb{1}\{x\in[0,1]: \frac {k-1}n \le f < kn \}
g=∑k=?∞∞?nk?1{x∈[0,1]:nk?1?≤f<kn}，则
∥
g
?
f
∥
≤
1
n
\|g - f\| \le \frac 1n
∥g?f∥≤n1?，而
g
∈
S
g\in S
g∈S，证毕。
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