BP神经网络的非线性系统建模
????????当我们在工程应用中遇到一些复杂的非线性系统，因为这些系统状态方程复杂，难以用数学方程表达，因此我们可以用BP神经网络来表达这些非线性系统。此方法是将未知系统看成一个黑箱，首先用系统输入输出数据训练BP神经网络，使网络可以表达该未知函数，然后用训练好的BP神经网络预测系统输出。
拟合的非线形函数为
????????????????????????????????????????????????y=X1^2+X2^2
该线性函数图形为
模型建立
????????BP神经网络构建根据拟合非线性函数特征确定BP神经网络结构，该非线性函数有两个输入参数，一个输出参数，因此结构为2-5-1。
? ? ? ? BP神经网络训练用非线性函数输入输出数据训练神经网络，从非线性函数数据中随机得到N组数据，其中绝大多数作为训练数据，其余作为测试数据。用于测试神经网络综合性能。
? ? ? ? 神经网络通过训练好的网络预测函数输出，并对预测结果进行分析。
?Matlab实现
? ? ? ? BP神经网络工具箱函数：
Matlab软件包含Matlab神经网络工具箱，它以人工神经网络理论为基础，用Matlab语言构造公式运算，矩阵操作，方程求解等大部分子程序用于神经网络设计与训练。用户只需根据需求调用相关子程序，即可以完成包括网络结构设计，权值初始化，网络训练及结果输出等工作。BP神经网络主要用到newff，sim，train3个神经网络函数。
newff：BP神经网络参数设置函数
函数功能：构建一个BP神经网络。
函数形式：net =newff(P,T,S,TF,BTF,BLF,PF,IPF,OPF,DDF)
P：输入数据矩阵
T：输出数据矩阵
S：隐含层节点数
TF：节点传递函数，包括硬限幅传递函数hardlim，对称硬限幅传递函数hardlims，线性传递函数purelin，正切S型传递函数tansig，对数S型传递函数logsig。
BTF：训练函数，包括梯度下降BP算法训练函数traingd，动量反传的梯度下降BP算法训练函数traingdm，动态自适应学习率的梯度下降BP算法训练函数traingda，动量反转与动态自适应学习率的梯度下降BP算法训练函数traingdx，Levenberg，Marquardt的BP算法训练函数trainlm。
BLF：网络学习函数，包括BP学习规则learngd，带动量项的BP学习规则learngdm。
PF：性能分析函数，包括均值绝对误差性能分析函数mae，均方差性能分析函数mse。
IPF：输入处理函数。
OPF：输出处理函数。
DDF：验证数据划分函数。
一般在使用过程中设置前面6个参数，后面4个参数采用系统默认参数。
train：BP神经网络训练函数
函数功能：用训练数据训练BP神经网络
函数形式：[net,tr]=train(NET,X,T,Pi,Ai)
NET:待训练网络。
X：输入数据矩阵。
T：输出数据矩阵。
Pi：初始化输入层条件。
Ai：初始化输出层条件。
net：训练好的网络。
tr：训练过程记录。
一般在使用过程中设置前面3个参数，后面2个参数采用系统默认参数。
sim：BP神经网络预测函数
函数功能：用训练好的BP神经网络预测函数输出
函数形式：y=sim（net，x）
net：训练好的网络。
x：输入数据。
y：网络预测数据。
数据选择与归一化
根据非线性函数方程得到该函数的输入输出数据，选取一定的输入输出数据，大部分的数据作为网络训练数据，小部分作为网络测试数据，并对训练数据进行归一化处理。
BP神经网络进行预测与训练步骤，后对结果进行分析。
多隐含层BP神经网络
隐含层根据层数可以分为单隐含层与多隐含层。多隐含层由多个单隐含层组成，同单隐含层相比，多隐含层具有泛化能力强，预测精度高的特点，但训练时间较长。因此隐含层层数要多方考虑。
隐含层节点数
如果隐含层节点数较少，则BP神经网络不能建立复杂的映射关系，也就不能准确预测结果。如果隐含层节点数较多，则BP神经网络学习时间过长，并可能出现“过拟合”现象，即训练样本预测准确，但其他样本误差较大。
训练数据对预测精度的影响
如果缺乏足够多的网络训练数据，网络预测值可能出现较大误差。
节点转移函数
Matlab神经网络工具箱中newff函数提供了几种节点转移函数，主要包括：
logsig函数：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y=1/[1+exp(-x)]
tansig函数：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y=2/[1+exp(-2x)]-1
purelin函数：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y=x
在网络结构，权值，阀值相同的情况下，神经网络预测误差和均方误差，输出层节点转移函数的关系如下：
隐含层与输出层函数的选择对BP神经网络预测精度有较大影响。一般隐含层节点转移函数选用logsig函数或tansig函数，输出层节点转移函数采用tansig函数或purelin函数。
注：网络拟合也具有一定的局限性，对于一些复杂系统，BP神经网络预测结果会存在较大误差。?