TOPSIS法的概念
- TOPSIS法的全称为Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution.国内简称优劣解距离法。
- TOPSIS法是一种综合评价方法，利用原始数据的信息，精确反映各评价方案之间的差距。
指标
通过单个或多个指标来评估比较对象的得分，从而得出优劣。
指标分为四类：
| 指标 | 意义 |
|---|
| 效益型指标 | 也称极大型指标，数值越大越好，比如成绩，GDP，绩点 | | 成本型指标 | 也称极小型指标，数值越小越好，比如犯罪次数，河流里的重金属离子浓度 | | 中间型指标 | 越趋近于某个值越好，比如最适温度，最适Ph值 | | 区间型指标 | 数值落在某个区间越好，比如正常体温 |
步骤
step1 原始数据的处理
化为矩阵
比较对象为行，指标为列。
正向化
| 指标 | 正向化方式 |
|---|
| 成本型指标 |
m
a
x
?
x
max-x
max?x | | 中间型指标 | 先比较算出所有点到最佳点的最大距离，记为
M
M
M，
x
~
i
\tilde{x}_i
x~i?用公式一计算 | | 区间型指标 | 先计算出所有点到区间最大值或最小值（设区间为[a,b]）的最大距离，
x
~
i
\tilde{x}_i
x~i?用公式二计算 |
公式一：
x
~
i
=
1
?
∣
x
i
?
x
b
e
s
t
∣
M
\tilde{x}_i = 1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}
x~i?=1?M∣xi??xbest?∣?
公式二：
x
~
i
=
{
1
?
∣
a
?
x
i
∣
M
x
i
<
a
1
a
≤
x
≤
b
1
?
∣
x
i
?
b
∣
M
x
i
>
b
\tilde{x}_i=\begin{cases} 1-\frac{|a-x_i|}{M} &x_i<a \\ 1 & a\le x\le b \\ 1-\frac{|x_i-b|}{M} & x_i>b \end{cases}
x~i?=??????1?M∣a?xi?∣?11?M∣xi??b∣??xi?<aa≤x≤bxi?>b?
下面展示公式二中 LaTeX分段函数代码。
$$\tilde{x}_i=\begin{cases}
1-\frac{|a-x_i|}{M} &x_i<a \\
1 & a\le x\le b \\%此处的\le小于等于符 \ge大于等于符
1-\frac{|x_i-b|}{M} & x_i>b
\end{cases}$$
正向化的意义
极小型指标不能与极大型指标一起运算，一起运算的结果是错误的，将成本型指标、中间型指标、区间型指标正向化，可以避免错误的得分结果。
step2 标准化处理
标准化意义
为消去不同量纲的影响
标准化操作
设有
n
n
n个评价对象，
m
m
m个指标。
对每一列（共
m
m
m列）：将元素除以一个数，这个数为 一列的所有平方和开根。公式为
Z
i
j
=
x
i
j
∑
i
=
1
n
x
i
j
2
Z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2 } }
Zij?=∑i=1n?xij2?
?xij??
计算后得出一个标准化的矩阵
计算得分
- 找出每一列的
Z
j
+
Z_{j}^+
Zj+?与
Z
j
?
Z_{j}^-
Zj??（相当于分别为每列最大值和最小值凑成的一个向量）
- 计算距离（类比于多维欧拉公式）：
D
i
+
=
∑
j
=
1
m
(
Z
j
+
?
Z
i
j
)
2
D_{i}^+=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z_{j}^+-Z_{ij})^2 }
Di+?=j=1∑m?(Zj+??Zij?)2
?
D
i
?
=
∑
j
=
1
m
(
Z
j
?
?
Z
i
j
)
2
D_{i}^-=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z_{j}^--Z_{ij})^2 }
Di??=j=1∑m?(Zj???Zij?)2
?
- 计算得分
S
i
=
D
i
?
D
i
+
+
D
i
?
S_i=\frac{D_{i}^-}{D_{i}^++D_{i}^-}
Si?=Di+?+Di??Di???
- 将得分归一化
拓展
指标若有权重，则先用层次分析法算出权重，再在距离公式里乘上
ω
j
\omega_j
ωj?(每个指标的权重)
like
D
i
+
=
∑
j
=
1
m
ω
j
(
Z
j
+
?
Z
i
j
)
2
D_{i}^+=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\omega_j(Z_{j}^+-Z_{ij})^2 }
Di+?=j=1∑m?ωj?(Zj+??Zij?)2
?
|