[人工智能] Matplotlib 3D小红花的绘制原理

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[人工智能]Matplotlib 3D小红花的绘制原理

文章目录

前言

??在上篇博客中使用了matplotlib绘制了3D小红花，本篇博客主要介绍一下3D小红花的绘制原理。

1. 极坐标系

??对于极坐标系中的一点 $P$ ，我们可以用极径 $r$ 和极角 $\theta$ 来表示，记为点 $\theta)$ ，其相关知识在高中就已经介绍，这里不再赘述。
??使用matplotlib绘制极坐标系：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
    # 极径
    r = np.arange(10)
    # 角度
    theta = 0.5 * np.pi * r

    fig = plt.figure()
    plt.polar(theta, r, c='r', marker='o', ms=3, ls='-', lw=1)
    # plt.savefig('img/polar1.png')
    plt.show()

在这里插入图片描述
??使用matplotlib绘制极坐标散点图：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
	r = np.linspace(0, 10, num=10)
    theta = 2 * np.pi * r
    area = 3 * r ** 2

    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.scatter(theta, r, c=theta, s=area, cmap='hsv', alpha=0.75)
    # plt.savefig('img/polar2.png')
    plt.show()

在这里插入图片描述

??有关matplotlib极坐标的参数更多介绍，可参阅官网手册。

2. 极坐标系花瓣

??绘制 $r=sin(\theta)$ 在极坐标系下的图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1, 1, num=5), labels='')

    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=200)
    r = np.sin(theta)
    ax.plot(theta, r)
    # plt.savefig('img/polar3.png')
    plt.show()

在这里插入图片描述
??以 $2\pi$ 为一个周期，增加图像的旋转周期：

r = np.sin(2 * theta)

在这里插入图片描述
??继续增加图像的旋转周期：

r = np.sin(3 * theta)
r = np.sin(4 * theta)

??然后我们可以通过调整极径系数和角度系数来调整图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = plt.subplot(111, projection='polar')
    ax.set_rgrids(radii=np.linspace(-1, 1, num=5), labels='')

    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=200)
    r1 = np.sin(4 * (theta + np.pi / 8))
    r2 = 0.5 * np.sin(5 * theta)
    r3 = 2 * np.sin(6 * (theta + np.pi / 12))

    ax.plot(theta, r1)
    ax.plot(theta, r2)
    ax.plot(theta, r3)
    # plt.savefig('img/polar4.png')
    plt.show()

在这里插入图片描述

3. 三维花瓣

??现在可以将花瓣放置在三维空间上了，根据花瓣的生成规律，其花瓣外边缘线在一条旋转内缩的曲线上，这条曲线的极径 $r$ 随着角度的增大逐渐变小，其高度 $h$ 逐渐变大。
??因此我们在 $f(x) = e^{-x}$ 的基础之上定义了一个递减函数，保证其值域在 $\frac {\pi} {2}]$ ，新的函数为： $f(\theta)=\frac {\pi} {2} e^{-\theta}$ ??其函数图像如下：在这里插入图片描述
??这样定义 $r = s i n (f), h = c o s (f)$ 就满足前面对花瓣外边缘曲线的假设了，即 $r$ 递减， $h$ 递增。
??现在将其放在三维空间中：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
    fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    # plt.axis('off')

    x = np.linspace(0, 1, num=30)
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
    theta = 30 * theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)

    # f is a decreasing function of theta
    f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

    r = x * np.sin(f)
    h = x * np.cos(f)

	# 极坐标转笛卡尔坐标
    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.cool)

    # plt.savefig('img/polar5.png')
    plt.show()

在这里插入图片描述

??笛卡尔坐标系(Cartesian coordinate system)，即直角坐标系。

??然而，上述的表达仍然没有得到花瓣的细节，因此我们需要在此基础之上进行处理，以得到花瓣形状。因此设计了一个花瓣函数：
$f(\theta) = 1 - \frac {1 - |sin(\frac {\theta} {2})|} {2}$ ??其是一个以 $2\pi$ 为周期的周期函数，其值域为 $[0.5, 1.0]$ ，图像如下图所示：
在这里插入图片描述
??再次绘制：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    # plt.axis('off')

    x = np.linspace(0, 1, num=30)
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
    theta = 30 * theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)

    # f is a decreasing function of theta
    f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

	# 通过改变函数周期来改变花瓣的形状
	# 改变值域也可以改变花瓣形状
	# u is a periodic function
    u = 1 - (1 - np.absolute(np.sin(3.3 * theta / 2))) / 2
    r = x * u * np.sin(f)
    h = x * u * np.cos(f)
	
	# 极坐标转笛卡尔坐标
    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)

    # plt.savefig('img/polar6.png')
    plt.show()

在这里插入图片描述

4. 花瓣微调

??为了使花瓣更加真实，使花瓣的形态向下凹，因此需要对花瓣的形状进行微调，这里添加一个修正项和一个噪声扰动，修正函数图像为：
在这里插入图片描述

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


if __name__ == '__main__':
	fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    # plt.axis('off')

    x = np.linspace(0, 1, num=30)
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num=1200)
    theta = 30 * theta
    x, theta = np.meshgrid(x, theta)

    # f is a decreasing function of theta
    f = 0.5 * np.pi * np.exp(-theta / 50)

    noise = np.sin(theta) / 30
    # u is a periodic function
    u = 1 - (1 - np.absolute(np.sin(3.3 * theta / 2))) / 2 + noise

    # y is a correction function
    y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(f)
    r = u * (x * np.sin(f) + y * np.cos(f))
    h = u * (x * np.cos(f) - y * np.sin(f))

    X = r * np.cos(theta)
    Y = r * np.sin(theta)
    ax = ax.plot_surface(X, Y, h,
                         rstride=1, cstride=1, cmap=plt.cm.RdPu_r)

    # plt.savefig('img/polar7.png')
    plt.show()