[人工智能]二维Gabor 滤波加速

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实验题目：

选取5个尺度，36个方向共180个二维模板对一幅图像分别做二维卷积，得到180幅滤波结果图像，以此作为基准Gabor滤波结果。由于这个基准算法处理速度很慢，故请试着对该方法进行改进，改进方法在要求得到同样180个卷积的结果图像的前提下，尽量提高其处理速度。

实验算法：

基本算法：

在图像处理中主要应用的是对gabor滤波的实部公式，其表达式如下：
$$g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=exp(?\frac{x^{\prime 2}+{\gamma }^2{y}^{\prime 2}}{2{\sigma }^2})cos(2\pi \frac{x^{\prime }}{\lambda }+\psi )(1)$$
其中$x^{\prime }=xcos\theta +ysin\theta ;y^{\prime }=?xsin\theta +ycos\theta$
上述公式的常规代码实现为二重循环，对于每一项计算的时间复杂度均为$O(n^2)$，当其kernel取值较大时，计算效率较低。本实验主要通过对公式的正交与非正交两种方法进行分解，使其复杂乘方的计算时间复杂度仅为O(2n)，仅需执行$O(n^2)$次的乘法与加法运算即可。

具体步骤：

(1)式的计算复杂度主要体现在幂方运算上，且$x^{\prime }与y^{\prime }$分别与x,y都相关，所以无法直接分解计算，即对$x^{\prime }与y^{\prime }$的计算必须使用二重循环，这样无疑提升了时间复杂度。因此，如果能够实现对(1)式的分解，使用数组存储x与y的n次计算结果，再在最后进行赋值就可以降低时间复杂度；下文提供正交与非正交两种方法进行分解。
正交分解：
$观察(1)式，当\gamma =1时，x^{\prime 2}+{\gamma }^2{y}^{\prime 2}=x^2+y^2$，此时即可以对(1)式进行正交分解：

$g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=exp(?\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2})cos(2\pi \frac{x^{\prime }}{\lambda }+\psi )$

对$x^{\prime }$展开，可得（由于$\psi$是常数，为方便公式推导，这里取0）：

$g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=exp(?\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2})cos(\frac{2\pi }{\lambda }(xcos\theta +ysin\theta ))$

继续展开可得：

$exp\left(?\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)exp\left(?\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\right)\left(cos\left(\frac{2\pi }{\lambda }xcos\theta \right)cos\left(\frac{2\pi }{\lambda }ysin\theta \right)?sin\left(\frac{2\pi }{\lambda }xcos\theta \right)sin\left(\frac{2\pi }{\lambda }ysin\theta \right)\right)$

对x，y分别构造函数有：

$f_1\left(x\right)=exp\left(?\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)\cos \left(\frac{2\pi }{\lambda }xcos\theta \right);f_2\left(x\right)=exp\left(?\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)\sin \left(\frac{2\pi }{\lambda }xcos\theta \right)$
$g_1\left(y\right)=exp\left(?\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\right)cos\left(\frac{2\pi }{\lambda }ysin\theta \right);g_2\left(y\right)=exp\left(?\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\right)sin\left(\frac{2\pi }{\lambda }ysin\theta \right)$

则gabor核的计算公式可化为：

$k(x,y)=f_1\left(x\right)g_1\left(y\right)?f_2\left(x\right)g_2\left(y\right)$

伪代码：

for x in kernel_size:
	f1(x),f2(x)
for y in kernel_size:
	g1(y),g2(y)
for x in kernel_size:
	for y in kernel_size:
		k(x,y)=f1(x)g1(y)-f2(x)g2(y)

此时，复杂的幂方与三角函数的计算只需进行O(n)次，而简单的乘法与加法运算才需进行$O(n^2)$次。
非正交分解：
上述分解仅适用于$\gamma =1$，对于$\gamma$任意取值的更普遍情况，实验使用非正交分解。对,分别沿着$x^{,}{,y}^{,}$与直线$t:y?xtan\alpha =0$进行分解，得到坐标变换$x\to x+cos\alpha ;y\to ttan\alpha$与新元表示${\sigma }_x=\frac{1}{{cos\theta }^2+{sin\theta }^2{\gamma }^2};{\sigma }_t=\sigma \sqrt{\frac{{cos\theta }^2}{{\gamma }^2}+{sin\theta }^2};\alpha =arctan(\frac{\frac{{cos\theta }^2}{{\gamma }^2}+{sin\theta }^2}{(1?\frac{1}{r^2})cos\theta sin\theta })$将上述变换及新元表达式带入(1)式分解得：

$f_1\left(x\right)=exp\left(?\frac{x^2}{2{{\sigma }_x}^2}\right)\cos \left(\frac{2\pi }{\lambda }xcos\theta \right);f_2\left(x\right)=exp\left(?\frac{x^2}{2{{\sigma }_x}^2}\right)\sin \left(\frac{2\pi }{\lambda }xcos\theta \right)$

$g_1\left(t\right)=exp\left(?\frac{t^2}{2{{\sigma }_t}^2}\right)cos\left(\frac{2\pi }{\lambda }tcos(\theta ?\alpha )\right);g_2\left(t\right)=exp\left(?\frac{t^2}{2{{\sigma }_t}^2}\right)sin\left(\frac{2\pi }{\lambda }tcos(\theta ?\alpha )\right)$

则gabor核的计算公式可化为：
$k(x,y)=f_1\left(x\right)g_1\left(t\right)?f_2\left(x\right)g_2\left(t\right)$

实验结果：

$实验选取的5个尺度为[3,11,33,77,111]，36个方向为(start=0,end=\pi ,stride=\pi /36)，滤波参数为：\lambda =\pi /2;\gamma =1;\psi =0。样例图片的大小为(height=675,width=1200)，经过10次实验三种滤波方式的平均时间花费如下：$

python代码实现：

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