[人工智能]逻辑回归与梯度下降策略之Python实现

我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。
这里我们有一个LogiReg_data.txt文件数据：

对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

先导入数据分析三大件：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

导入数据，设置表头，‘Exam 1’,和’Exam 2’,表示两科成绩，'Admitted’表示是否被录取，读取表格前五条数据看一下效果：

import os
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

看一下我们数据的规模：

可以看出一共是100条数据，有3列特征。

我们可以绘图看一下Admitted是0还是1在图像上的分布情况：

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1]
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] 

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

可以清晰的看出录取和未被录取的大致分布，针对这两种分布，我们应该可以试着画出一条决策边界将两类分开，接下来就开始用到逻辑回归算法了。

首先我们应该明确一下我们的目标：建立分类器（求解出三个参数 𝜃0，𝜃1，𝜃2，分布代表’Exam 1’, ‘Exam 2’, 'Admitted’这三个特征值 ），然后就要考虑设定阈值，根据阈值判断录取结果，我们这里一般用0.5，大于0.5就被录取，小于0.5就是未被录取。

我们要完成的模块：

• sigmoid : 映射到概率的函数

• model : 返回预测结果值

• cost : 根据参数计算损失

• gradient : 计算每个参数的梯度方向

• descent : 进行参数更新

• accuracy: 计算精度

1. 映射到概率的函数sigmoid

代码实现：

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

还记得它长什么样吗？我们画一下看看：

nums = np.arange(-10, 10, step=1) 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')

可以明显看到：
𝑔:?→[0,1]
𝑔(0)=0.5
𝑔(?∞)=0
𝑔(+∞)=1

2. 返回预测结果值model函数

接下来我们完成预测函数model,

我们这里就是：

为啥x1,x2上面是1呢？还记得我们在线性回归算法原理推导
中提到在进行数值计算时，为了使得整体能用矩阵的形式表达，即便没有x0项也可以手动添加， 只需要在数据中加入一列x0并且使其值全部为1即可，结果不变。

model函数代码实现：

def model(X, theta):
    
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T))

接下来

pdData.insert(0, 'Ones', 1) # 新加一列全为1的值，列名指定Ones

orig_data = pdData.values # DataFrame转换成数组
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:,0:cols-1]
y = orig_data[:,cols-1:cols]

#构造theta占位，通常用0填充，1行3列
theta = np.zeros([1, 3])

我们接下来看一下数据有没有问题：

可以看到数据并没有问题，符合我们的预期。

3. 计算损失值cost

到这里数据算是已经准备完成，接下来我们就要根据参数计算损失，首先定义损失函数：

损失函数代码：

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    return np.sum(left - right) / (len(X))

写完了损失函数，我们调用一下看看损失值：

我们现在也不用管这个损失值是大了还是小了，只要知道我们是能算出来的，公式是好用的就🆗了。

4. 计算梯度gradient

再接着我们就该计算梯度了，之前我们在逻辑回归那里，费了好大的劲才求出偏导：

据此写出梯度计算函数：

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape)
    error = (model(X, theta)- y).ravel()
    for j in range(len(theta.ravel())): 
        term = np.multiply(error, X[:,j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X)
    
    return grad

按迭代次数，损失值，梯度，接下来我们可以据此得出3种不同梯度下降方法：

STOP_ITER = 0
STOP_COST = 1
STOP_GRAD = 2

def stopCriterion(type, value, threshold):
    #设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:      return abs(value[-1]-value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:      return np.linalg.norm(value) < threshold

5. 进行参数更新

当我们进行迭代更新的时候，为了使模型泛化，我们会试着打乱数据即洗牌：

import numpy.random
#洗牌
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols-1]
    y = data[:, cols-1:]
    return X, y

接着求解梯度下降：

import time

def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    #梯度下降求解
    
    init_time = time.time()
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] # 损失值

    
    while True:
        grad = gradient(X[k:k+batchSize], y[k:k+batchSize], theta)
        k += batchSize #取batch数量个数据
        if k >= n: 
            k = 0 
            X, y = shuffleData(data) #重新洗牌
        theta = theta - alpha*grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1 

        if stopType == STOP_ITER:       value = i
        elif stopType == STOP_COST:     value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:     value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh): break
    
    return theta, i-1, costs, grad, time.time() - init_time

再写个绘图函数：

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:,1]>2).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate: {} - ".format(alpha)
    if batchSize==n: strDescType = "Gradient"
    elif batchSize==1:  strDescType = "Stochastic"
    else: strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER: strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST: strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else: strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print ("***{}\nTheta: {} - Iter: {} - Last cost: {:03.2f} - Duration: {:03.2f}s".format(
        name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

1. 根据迭代次数停止

#我们的样本一共就100条，如果我们让n=100,那说明我们选择的梯度下降方法是基于所有样本的
n=100
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001) # 迭代5000次

2. 根据损失值停止

设定阈值 1E-6, 差不多需要110 000次迭代，

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.000001, alpha=0.001)

上一种策略5000次迭代收敛到大概0.63，而这次根据损失值停止策略方法将其收敛到0.35-0.40之间，可见这种迭代策略比上一种更优。

3. 根据梯度变化停止
   设定阈值 0.05,差不多需要40 000次迭代。

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

上面三种我们对比的是停止策略，下面我们对比不同的梯度下降方法：

• 随机梯度下降

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001) # 每次迭代一个样本

看着很不稳定,我们试试把学习率调小一些：

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

可以看到速度快，但稳定性差，需要很小的学习率。

• 小批量梯度下降（Mini-batch descent）

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

浮动仍然比较大，我们这次不再调学习率，换一种方法，我们来尝试下对数据进行标准化将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1：

from sklearn import preprocessing as pp

scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

这样就好多了，原始数据只能达到0.63，而我们达到了0.38这里！ 所以对数据做预处理是非常重要的。

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

更多的迭代次数会使得损失下降的更多！

theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

随机梯度下降更快，但是我们需要迭代的次数也需要更多，所以还是用batch的比较合适！！！

runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

6. 计算精度

我们最后再算一下精度，先设定预测值大于0.5就是被录取，反之未被录取，

#设定阈值
def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

计算精度：

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0 for (a, b) in zip(predictions, y)]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy))

我们通过我们的梯度下降和逻辑回归算法计算出精度是89%。

小结：

机器学习中两大核心算法：线性回归与逻辑回归，分别应用于回归与分类任务中。在求解过程中，机器学习的核心思想就是优化求解，不断寻找最合适的参数，梯度下降算法也由此而生。在实际训练模型时，还需考虑各种参数对结果的影响，在后续实战案例中，这些都需要通过实验来进行调节。在原理推导过程中，涉及很多细小知识点，这些并不是某一个算法所特有的，在后续的算法学习过程中还会看到它们的影子，慢慢大家就会发现机器学习中的各种套路了。