情形一：
d
d
?
x
∫
0
x
f
(
t
)
d
?
t
=
f
(
x
)
\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^xf(t){\rm d}\,t=f(x)
dxd?∫0x?f(t)dt=f(x)
情形二：
d
d
?
x
∫
0
g
(
x
)
f
(
t
)
d
?
t
=
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
\frac{\rm{d}}{{\rm d}\,x}\int_0^{g(x)}f(t){\rm d}\,t=f(g(x))g'(x)
dxd?∫0g(x)?f(t)dt=f(g(x))g′(x)
情形三：
d
d
x
∫
0
x
f
(
x
?
t
)
d
?
t
=
令
u
=
x
?
t
=
d
d
x
∫
x
0
f
(
u
)
d
?
?
u
=
d
d
x
∫
0
x
f
(
u
)
d
?
u
=
f
(
x
)
\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(x-t){\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=x-t}\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^0f(u){\rm d}\,-u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xf(u){\rm d}\,u=f(x) \end{aligned}
dxd?∫0x?f(x?t)dt?令u=x?t
=dxd?∫x0?f(u)d?u=dxd?∫0x?f(u)du=f(x)?
不是每一道题都要像此处令
u
=
x
?
t
u=x-t
u=x?t，应根据实际情况做适当换元。
例一：
d
d
x
∫
0
x
t
f
(
2
x
?
t
)
d
?
t
=
令
u
=
2
x
?
t
?
d
d
x
∫
2
x
x
(
2
x
?
u
)
f
(
u
)
d
?
u
=
d
d
x
2
x
∫
x
2
x
f
(
u
)
d
?
u
?
d
d
x
∫
x
2
x
u
f
(
u
)
d
?
u
=
2
∫
x
2
x
f
(
u
)
d
?
u
+
4
x
f
(
2
x
)
?
2
x
f
(
x
)
?
4
x
f
(
2
x
)
+
x
f
(
x
)
=
2
∫
x
2
x
f
(
u
)
d
?
u
?
x
f
(
x
)
\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^xtf(2x-t){\rm d}\,t &\xlongequal{{\text 令}u=2x-t}-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{2x}^x(2x-u)f(u){\rm d}\,u\\ &=\frac{\rm d}{{\rm d}x}2x\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_x^{2x}uf(u){\rm d}\,u\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u+4xf(2x)-2xf(x)-4xf(2x)+xf(x)\\ &=2\int_x^{2x}f(u){\rm d}\,u-xf(x) \end{aligned}
dxd?∫0x?tf(2x?t)dt?令u=2x?t
?dxd?∫2xx?(2x?u)f(u)du=dxd?2x∫x2x?f(u)du?dxd?∫x2x?uf(u)du=2∫x2x?f(u)du+4xf(2x)?2xf(x)?4xf(2x)+xf(x)=2∫x2x?f(u)du?xf(x)?
例二：
d
d
x
∫
0
3
x
2
ln
?
t
+
x
2
d
?
t
=
令
u
=
t
+
x
2
d
d
x
∫
x
2
4
x
2
ln
?
u
d
?
u
=
8
x
ln
?
2
x
?
2
x
ln
?
x
\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_0^{3x^2}\ln\sqrt{t+x^2}{\rm d}\,t&\xlongequal{{\text 令}u=t+x^2}\frac{\rm d}{{\rm d}x}\int_{x^2}^{4x^2}\ln\sqrt{u}{\rm d}\,u\\ &=8x\ln2x-2x\ln x \end{aligned}
dxd?∫03x2?lnt+x2
?dt?令u=t+x2
dxd?∫x24x2?lnu
?du=8xln2x?2xlnx?
除此以外，还可以使用一个更加 牛逼 复杂的一个公式，具体可看下文
含参积分求导/积分上限函数求导/
2022年2月24日17:26:15
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