总结
相关函数 与 卷积 在 数学上是有关系的 , 但是其物理意义不同 ;
- 卷积的物理意义 : 线性时不变系统 输入序列 , 输出序列 与 单位脉冲响应
h
(
n
)
h(n)
h(n) 之间的关系 ;
- 相关函数 : 反应两个信号之间的关系 ;
可以使用 " 快速计算卷积 " 的方法 , 计算相关函数 ;
一、相关函数与线性卷积概念
1、卷积
卷积概念
对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,
假设
x
(
n
)
x(n)
x(n) 是 LTI 系统的 " 输入序列 " ,
y
(
n
)
y(n)
y(n) 是 " 输出序列 " ,
则有 :
y
(
n
)
=
∑
m
=
?
∞
+
∞
x
(
m
)
h
(
n
?
m
)
=
x
(
n
)
?
h
(
n
)
y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)
y(n)=m=?∞∑+∞?x(m)h(n?m)=x(n)?h(n)
线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的
" 输出序列 "
等于
" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;
卷积公式
卷积公式如下 :
y
(
n
)
=
x
(
n
)
?
h
(
n
)
=
∑
m
=
?
∞
+
∞
x
(
m
)
h
(
n
?
m
)
y(n) = x(n) * h(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)
y(n)=x(n)?h(n)=m=?∞∑+∞?x(m)h(n?m)
卷积具有交换律 :
y
(
n
)
=
x
(
n
)
?
h
(
n
)
=
h
(
n
)
?
x
(
n
)
=
∑
m
=
?
∞
+
∞
h
(
m
)
x
(
n
?
m
)
y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} h(m) x(n-m)
y(n)=x(n)?h(n)=h(n)?x(n)=m=?∞∑+∞?h(m)x(n?m)
2、相关函数
互相关函数
互相关函数 表示的是 两个不同的信号 之间的相关性 ;
x
(
n
)
x(n)
x(n) 与
y
(
n
)
y(n)
y(n) 的 " 互相关函数 " 如下 ,
r
x
y
(
m
)
=
∑
n
=
?
∞
+
∞
x
?
(
n
)
y
(
n
+
m
)
r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)
rxy?(m)=n=?∞∑+∞?x?(n)y(n+m)
其中
y
(
n
)
y(n)
y(n) 进行了移位 , 向左移动了
m
m
m 单位 ,
该 " 互相关函数 " 求的是
y
(
n
)
y(n)
y(n) 移位
m
m
m 后的序列 与
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列之间的关系 ;
注意这里的
n
n
n 表示的是时刻 ,
m
m
m 表示的是信号移动的间隔 ;
该 " 互相关函数 " 表示的是
x
(
n
)
x(n)
x(n) 信号 , 与 隔了
m
m
m 时间后的
y
(
n
)
y(n)
y(n) 信号之间的关系 ;
这
2
2
2 个信号 ( 序列 ) 之间 " 关系 " 是一个 函数 , 函数的自变量是
m
m
m 间隔 , 不是
n
n
n ;
自相关函数
自相关函数 ( Autocorrelation Function ) :
r
x
x
(
m
)
=
∑
n
=
?
∞
+
∞
x
?
(
n
)
x
(
n
+
m
)
=
r
x
(
m
)
r_{xx}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) x(n + m) = r_x(m)
rxx?(m)=n=?∞∑+∞?x?(n)x(n+m)=rx?(m)
" 自相关函数 " 是 " 自己信号 " 与 " 隔一段时间后的 自己信号 " 之间的 相关性 ;
如果
m
=
0
m = 0
m=0 时 , " 自己信号 " 与 " 隔一段时间
m
m
m 后的自己信号 " 完全相等 , 该值就是 信号的能量 ;
r
x
(
0
)
=
∑
n
=
?
∞
+
∞
∣
x
(
n
)
∣
2
=
E
r_{x}(0) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2= E
rx?(0)=n=?∞∑+∞?∣x(n)∣2=E
二、相关函数与线性卷积关系
1、相关函数与线性卷积对比
卷积可以写为 :
g
(
n
)
=
x
(
n
)
?
y
(
n
)
=
∑
m
=
?
∞
+
∞
x
(
m
)
y
(
n
?
m
)
g(n) = x(n) * y(n)= \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) y(n-m)
g(n)=x(n)?y(n)=m=?∞∑+∞?x(m)y(n?m)
相关函数 :
r
x
y
(
m
)
=
∑
n
=
?
∞
+
∞
x
?
(
n
)
y
(
n
+
m
)
r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m)
rxy?(m)=n=?∞∑+∞?x?(n)y(n+m)
相关函数 与 卷积对比 :
- 加和式的范围都是
?
∞
-\infty
?∞ ~
+
∞
+\infty
+∞ ;
-
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列项的自变量不同 , 相关函数是
n
n
n , 卷积是
m
m
m ;
-
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列 相关函数取了共轭 , 卷积没有 ;
-
y
(
n
)
y(n)
y(n) 序列 相关函数的 自变量是
n
+
m
n + m
n+m , 卷积的自变量是
n
?
m
n-m
n?m ;
2、使用 卷积 推导 相关函数
x
(
?
m
)
x(-m)
x(?m) 的共轭 与
y
(
m
)
y(m)
y(m) 的 卷积 计算 :
x
?
(
?
m
)
?
y
(
m
)
=
∑
m
=
?
∞
+
∞
x
?
(
?
n
)
y
(
m
?
n
)
x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(-n) y(m-n)
x?(?m)?y(m)=m=?∞∑+∞?x?(?n)y(m?n)
令
?
n
=
n
′
-n = n'
?n=n′ ,
n
n
n 的范围还是
?
∞
-\infty
?∞ ~
+
∞
+\infty
+∞ ,
使用
n
=
?
n
′
n = -n'
n=?n′ 替换
n
n
n , 带入到上面的卷积式子中 ,
x
?
(
?
m
)
?
y
(
m
)
=
∑
m
=
?
∞
+
∞
x
?
(
?
(
?
n
′
)
)
y
(
m
?
(
?
n
′
)
)
x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(- (-n')) y(m-(-n'))
x?(?m)?y(m)=m=?∞∑+∞?x?(?(?n′))y(m?(?n′))
x
?
(
?
m
)
?
y
(
m
)
=
∑
m
=
?
∞
+
∞
x
?
(
n
′
)
y
(
m
+
n
′
)
=
r
x
y
(
m
)
x^*(-m) * y(m) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x^*(n') y(m + n') = r_{xy}(m)
x?(?m)?y(m)=m=?∞∑+∞?x?(n′)y(m+n′)=rxy?(m)
最终计算出来的结果就是
r
x
y
(
m
)
r_{xy}(m)
rxy?(m) 互相关函数 ;
3、使用 卷积 计算 互相关函数
使用 卷积 计算 互相关函数 :
r
x
y
(
m
)
=
x
?
(
?
m
)
?
y
(
m
)
r_{xy}(m) = x^*(-m) * y(m)
rxy?(m)=x?(?m)?y(m)
4、使用 卷积 计算 自相关函数
使用 卷积 计算 自相关函数 :
r
x
(
m
)
=
x
?
(
?
m
)
?
x
(
m
)
r_{x}(m) = x^*(-m) * x(m)
rx?(m)=x?(?m)?x(m)
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