[人工智能]基于FFT的图像配准

1.仅考虑平移 translation

定义：

• $f_r$：参考图像，reference picture；
• $f_s$：待配准图像

设二者存在$(x_0,y_0)$偏移，即：$f_s(x,y)=f_r(x?x_0,y?y_0)$

等式两边进行傅里叶变换，有：

$F_s(u,v)=e^{?j2\pi (u.x_0+v.y_0)}{F}_r(u,v)$

$F_s与F_r$的互功率谱定义为：

$R=\frac{F_s(u,v)F_r^{?}(u,v)}{|F_s(u,v)F_r(u,v)|}=?j2\pi (u.x_0+v.y_0)$

对R进行傅里叶逆变换，有:

$F^{?1}(R)=\delta (x?x_0,y?y_0)$

因此在逆变换谱上搜索最大值点即为平移距离$(x_0,y_0)$。

2.同时考虑平移、缩放及旋转

2.1 整个配准过程

整个配准过程还是有点复杂的，见下图：

设 $f_r$由$f_s$通过放缩k倍，旋转${\theta }_0$角度，平移$(x_0,y_0)$得到，则有：

$f_s(x,y)=f_r[k(x\cos {\theta }_0?y\sin {\theta }_0)?x_0,k(x\sin {\theta }_0+y\cos {\theta }_0)?y_0]$

两边进行傅里叶变换：

$F_s(u,v)=\frac{1}{k^2}{e}^{?j2\pi (u.x_0/k+v.y_0/k)}{F}_r(\frac{u\cos {\theta }_0?v\sin {\theta }_0}{k},\frac{u\sin {\theta }_0+v\cos {\theta }_0)}{k})$

其幅度谱有：

$G_s(u,v)=\frac{1}{k^2}{e}^{?j2\pi (u.x_0/k+v.y_0/k)}{G}_r(\frac{u\cos {\theta }_0?v\sin {\theta }_0}{k},\frac{u\sin {\theta }_0+v\cos {\theta }_0)}{k})$

将图谱从笛卡尔坐标系下转换到极坐标系下($\rho =(u^2+v^2{)}^{\frac{1}{2}},\theta =ta{n}^{?1}\frac{v}{u}$)：
$H_s(\rho ,\theta )=\frac{1}{k^2}{H}_r(\frac{\rho }{k},\theta +{\theta }_0)$

令$r=\log (\rho ),?=\theta$，对极坐标系下的图谱再次进行傅里叶变换：

$Q_s(r,?)=Q_r(r?\log k,?+{\theta }_0)$

这样，$Q_s与Q_r$参考1种进行互功率谱、傅里叶逆变换，得到极大值，就获得了缩放与旋转值。

对带配准图像进行相应缩放及旋转，然后就可以通过1，计算平移的偏差了。

2.2 高通滤波 Highpass filtering

$H(u,v)=(1?X(u,v))(2?X(u,v))$

参考文献

[1]A Review on Image Registration
[2] An FFT-Based Technique for Translation, Rotation, and Scale-Invariant Image Registration
[3] Image Registration
[4] Image Registration Using Log Polar Transform and Phase Correlation to Recover Higher Scale