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求证：卷积满足交换律
F
?
G
(
x
)
=
G
?
F
(
x
)
F*G(x)=G*F(x)
F?G(x)=G?F(x)
证明：依据卷积的定义，
F
?
G
(
x
)
?
∫
?
∞
+
∞
G
(
x
?
t
)
F
(
t
)
d
t
F*G(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt
F?G(x)?∫?∞+∞?G(x?t)F(t)dt，
而，
G
?
F
(
x
)
?
∫
?
∞
+
∞
F
(
x
?
t
)
G
(
t
)
d
t
G*F(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} F(x-t)G(t) dt
G?F(x)?∫?∞+∞?F(x?t)G(t)dt
=
令
τ
=
x
?
t
∫
?
∞
+
∞
F
(
τ
)
G
(
x
?
τ
)
d
(
x
?
τ
)
\xlongequal{令\tau=x-t}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d(x-\tau)
令τ=x?t
∫?∞+∞?F(τ)G(x?τ)d(x?τ)
=
?
∫
+
∞
?
∞
F
(
τ
)
G
(
x
?
τ
)
d
τ
=-\int_{+\infty}^{-\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau
=?∫+∞?∞?F(τ)G(x?τ)dτ
=
∫
?
∞
+
∞
F
(
τ
)
G
(
x
?
τ
)
d
τ
=\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau
=∫?∞+∞?F(τ)G(x?τ)dτ
=
∫
?
∞
+
∞
G
(
x
?
τ
)
F
(
τ
)
d
τ
=\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-\tau)F(\tau) d\tau
=∫?∞+∞?G(x?τ)F(τ)dτ
=
∫
?
∞
+
∞
G
(
x
?
t
)
F
(
t
)
d
t
=\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt
=∫?∞+∞?G(x?t)F(t)dt
本文证明过程的LaTeX代码如下：
依据卷积的定义，$F*G(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt$，
而，$G*F(x) \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} F(x-t)G(t) dt$
$\xlongequal{令\tau=x-t}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d(x-\tau)$
$=-\int_{+\infty}^{-\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau$
$=\int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau)G(x-\tau) d\tau$
$=\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-\tau)F(\tau) d\tau$
$=\int_{-\infty}^{+\infty} G(x-t)F(t) dt$
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