一、序列傅里叶变换与反变换

在上一篇博客【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域可以展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}$

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即根据傅里叶变换推导序列 ;

$\cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega$

二、序列绝对可和与存在傅里叶变换之间的关系

序列绝对可和与存在傅里叶变换 :

如果 " $x (n)$ 序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " $x (n)$ 序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入广义函数 $\delta(\omega)$ 后 , 其傅里叶变换也存在 ;

序列绝对可和可以表示成 :

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty$

三、序列傅里叶变换性质

$x (n)$ 的傅里叶变换是 $X(e^{j\omega})$ , 有如下性质 :

连续性 : 序列 $x (n)$ 是离散的 , 其傅里叶变换 $X(e^{j\omega})$ 对 $\omega$ 来说是连续的 ;
周期性 : $X(e^{j\omega})$ 是周期的 , 其周期是 $2\pi$ , 其主值区间为 $\pi , \pi]$ ;

$X(e^{j\omega}) = X(e^{j( \omega + 2M\pi )})$

其中 $M$ 是整数 ; $e^{-j\omega n}$ , 将 $\omega = 2\pi M$ 带入即可得到其是以 $2\pi$ 为周期的 ;

周期独立性 : 在相同周期内的各个频率彼此独立 , 频率列举 :
- 数字角频率域 , 即 $\omega$ 域
- 直流分量角频率在 $\omega = 2M\pi$ , $\pi$ 的偶数被上 ;
- 信号最高角频率在 $\omega = (2M + 1 )\pi$ , $\pi$ 的奇数倍上 ;

数字角频率 $\omega$ , 与模拟角频率 $\Omega$ 之间的关系 :

$\omega = \Omega T$

直流就是 $\omega = 2 \pi f$ 中的数字频率 $f = 0$ ;

直流的时候 , 数字频率 $f$ 为 $0$ , 则数字角频率 $\omega$ 也为 $0$ ;

证明 " 直流分量角频率在 $\omega = 2M\pi$ " :

直流分量角频率在 $\pi$ 的偶数倍上 , 角频率是以 $2\pi$ 为周期的 , 周期信号的组织是 $[-\pi , \pi]$ ,

在横轴为 $\omega$ 角频率 , 纵轴为 $X(e^{j\omega})$ 的坐标系中 , 横坐标 $\omega = 0$ 位置的值对应 $\omega = 2 \pi$ 和 $\omega = -2\pi$ , 这 $3$ 个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量永远在 $\pi$ 的偶数倍上 ;