[人工智能]【数学与算法】曲线上各点的曲率kappa和倾角theta

曲线上每个点的两个属性,倾角 $\theta$ 和曲率$kappa$。

1.倾角:

曲线上有两点$A、B$很近，$A$点的切线与前进方向 $x$ 的角度$\theta$，就是$A$点的倾角 。

但是，在实际工程中，不容易直接求出曲线每个点的切线和前进方向 $x$ 的角度，但是由于曲线上的两点$A、B$很近，可以近似用下图的 $\alpha$ 来代替$A$点的倾角 $\theta$。

就是用两个点的弦来代替该点的切线，这样就可以使用 $A、B$ 两点的坐标【(x,y)都已知】来求解下图的 $\alpha$，该 $\alpha$ 就是$A$点的近似倾角。

$tan\alpha =\frac{\Delta y}{\Delta x}$，即曲线相邻两个点的水平方向距离除以竖直方向距离，就是$\alpha$的正切值。

因为使用 $\alpha$ 来近似 $\theta$ ，所以代码中就使用 $\alpha$ 的值为倾角 $\theta$ 的值：

$$tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

2.曲率

曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。

如上图，一段曲线上有两点$A$和$B$。

• $\alpha$为$A$、$B$两个点的切线的转角，图中构成夹角$\alpha$分别为两个点切线;
• ${\beta }_1$为$A$点切线与$x$方向的夹角；
• ${\beta }_2$为$B$点切线与$x$方向的夹角；
• $O$为曲率圆的中心;

在离散曲线的每个点的切线与$x$方向的夹角$\beta$都是已知的，
那么对于曲线上每一个点，它相对于上一个点的切线转动角$\alpha$，都可以通过$\alpha ={\beta }_2?{\beta }_1$,求解得到。

并且，可以知道，$\alpha =\angle AOB$，即两点切线的转角等于曲率圆的两点和圆心构成角度。

由于曲线上$A$、$B$ 两点很近，可把弧$AB$近似等于弦长$AB$,那么
根据曲率公式可得到每一个点的曲率为:
$$k=\frac{\alpha }{AB}$$
因为，弧长公式: $s=\alpha ?R$，得到：$\frac{1}{R}=\frac{\alpha }{s}$，所以也可以简单理解为，曲率就是半径的倒数: $k=\frac{1}{R}$。

每一点的曲率kappa需要用到上一个点的倾角与该点自己的倾角，当曲线每个点的xy坐标知晓时，每个点的曲率都可以求解出来。
最后一个点的倾角不能求，就不用求，过滤掉该点。

3.求曲线上的每个点的曲率的步骤：

假设曲线共有n个点，分为两个大步骤：

1.先求曲线上每个点的倾角 $\theta$：

• 求曲线第0个点倾角 $\theta$，它由第0个点坐标$(x_0,y_0)$和第1个点的坐标$(x_1,y_1)$根据 $tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1?y_0}{x_1?x_0}$近似得到；
• 求曲线第1个点倾角 $\theta$，它由第1个点和第2个点的坐标根据 $tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}$近似得到；
• …
• 求曲线第n-1个点倾角 $\theta$（他是求不出来的），它由第n-1个点和第n个点的坐标根据 $tan\theta =\frac{\Delta y}{\Delta x}$近似得到，但是不存在第n个点，所以该点的倾角求不了，就不用求；

2.然后再求曲率kappa：

• 求曲线第1个点的曲率$k_1$：注意，不是第0个点的kappa（因为第0个点的kappa求不了），第一个点的切线转动角$\alpha$ 由第0个点的倾角${\theta }_0$和第1个点的倾角${\theta }_1$根据 $\alpha ={\theta }_1?{\theta }_0$近似得到，然后再使用$k=\frac{\alpha }{AB}$得出第一个点点的曲率 $k_1$；
• 求曲线第2个点的曲率$k_2$：…
• …
• 求曲线第n-2个点的曲率$k_2$：…

百度百科：曲率
离散点（离散序列）曲率计算那点事