主成分分析（Principal component analysis，PCA）

主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分（即综合变量）的多元统计方法。

1 原理

1.1 主成分分析的几何意义

2 主成分分析的MATLAB函数

与主成分分析的MATLAB函数主要有pcacov、princomp和pcares函数。

2.1 pcacov函数

pcacov函数用来根据协方差矩阵或相关系数矩阵进行主成分分析，其调用格式如下：

COEFF = pcacov(V)
[COEFF,latent] = pcacov(V)
[COEFF,latent,explained] = pcacov(V)

输入参数：
V——总体或样本的协方差矩阵或相关系数矩阵，对于p维总体，V是p×p的矩阵。
输出参数：
COEFF——p个主成分的系数矩阵，其为p×p的矩阵，第i列是第i个主成分的系数向量。
latent——p个主成分的方差构成的列向量，即V的p个特征值（从大到小）构成的向量。
explained——p个主成分的贡献率向量，已经转化为百分比。

2.2 princomp函数

princomp函数用来根据样本观测值矩阵进行主成分分析，其调用格式如下：

[COEFF,SCORE] = princomp(X)
[COEFF,SCORE,latent] = princomp(X)
[COEFF,SCORE,latent,tsquare] = princomp(X)

输入参数：
X——n行p列的矩阵，每一行对应一个观测（样品），每一列对应一个变量。
输出参数：
COEFF——p个主成分的系数矩阵，其为p×p的矩阵，第i列是第i个主成分的系数向量。
SCORE——n个样品的p个主成分得分矩阵，其为n行p列的矩阵，每一行对应一个观测（样品），每一列对应一个主成分。第i行第j列元素是第i个样品的第j个主成分得分。
latent——样本协方差矩阵的特征值向量，由p个特征值构成的列向量，其中特征值按降序排列。
tsquare——包含n个元素的列向量。其第i个元素是第i个观测对应的霍特林（Hotelling）T^2统计量，描述了第i个观测与数据集（样本观测矩阵）的中心之间的距离，可以用来寻找远离中心的极端数据。

2.3 pcares函数

pcares函数用来重建数据，并求样本观测值矩阵中的每个观测的每一个分量所对应的残差，其调用格式如下：

residuals = pcares(X,ndim)
[residuals,reconstructed] = pcares(X,ndim)

输入参数：
X——n行p列的样本观测值矩阵，其每一行对应一个观测（样品），每一列对应一个变量。
ndim——用来指定所用的主成分的个数，其是一个小于或等于p的正标量，最好取为正整数。
输出参数：
residuals——与X同样大小的矩阵，其元素为X中相应元素对应的残差。
reconstructed——用前ndim个主成分的得分重建的观测数据，为X的近似。
注意： pcares调用了princomp函数，其只能接受原始样本数据作为它的输入，并且不会自动对数据作标准化变换，若需要对数据做标准化变换，可以先用zscore函数将数据标准化，然后调用pcares函数重建观测数据并求残差。
若从协方差矩阵或相关系数矩阵出发求解主成分，请用pcacov函数，此时无法重建观测数据和误差。