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第一部分，从0到1（从传统的傅里叶变换+卷积——>图上的傅里叶变换+卷积）
废话：
很久以前我就看了 《a comprehensive survey on Graph Neural Networks》这篇综述，对于图神经网络的大概分类有了一定的了解，但是并不太清楚具体的细节。
并且自己去了解很多的资料，但是一直没有一个整体的认知。最近看 CS224W: machine learing with graph，又触动了我关于基于空间还是基于谱的认知。然后为了有个清晰的认识，我又看了一遍之前的资料，并且看了《SEMI -SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS》里面关于卷积公式的推导。现在大概有个比较清楚的认识。
基于空间的图卷积网络（spatial-based GCN）
这个部分不过多介绍，参考CS224W: machine learing with graph上提出的这个GCN模型。图神经网络（6）-GNN1_山、、、的博客-CSDN博客图数据的特殊性：1. 没有固定的节点顺序或参考点（排列不变性，不同的节点顺序代表同一个图）2.经常有动态并且多种模式的特征怎么将深度学习应用到graph上呢？？直接将图的邻接矩阵连接节点特征当作输入，应用全连接DNN可以吗？不行！ 这样的话，对于不同size的图用不了，并且这样对节点的顺序敏感！...https://blog.csdn.net/qq_44689178/article/details/123263686?spm=1001.2014.3001.5502
基于谱的图卷积网络（spectral-based GCN）
这个部分的公式推导非常非常麻烦，我搞懂了整个推理过程，没有具体去推导。
公式推导涉及的相关知识点包含：傅里叶变换，矩阵论（拉普拉斯矩阵，谱分解），卷积定理，切比雪夫多项式等。
整个推理过程，我分为两个部分。
第一部分，从0到1（从传统的傅里叶变换+卷积——>图上的傅里叶变换+卷积）
参考下面这位大佬的。我看了很多推导，他说的最清楚明白。
1. 按照傅里叶变换公式，定义图上的傅里叶变换
学过积分的都知道，积分就是内积（相乘求和）的极限。
傅里叶变换公式：
图上的傅里叶变换：
?上面的这个f（i） 可以认为就是图神经网络中的H(k)——也就是节点的embeddings
然后把上面这个公式表示为矩阵形式：
2.利用卷积定理得到节点与卷积核的卷积
要得到下面公式：
?这一部分，非常好理解。卷积定理简单解释就是：先卷积再傅里叶变换=先傅里叶变换再卷积
上面这个公式是求的f（节点的embeddings）和h（卷积核）之间的卷积。
那么我们可以先求f（和h（卷积核）之间卷积的傅里叶变换，那么就等于f和h先傅里叶变换再卷积。求得f（和h（卷积核）之间卷积的傅里叶变换，再做一个逆变换就得到f（和h（卷积核）之间的卷积。
由下面这个公式知道，傅里叶变换就是左乘U的转置矩阵，逆变换就是左乘U
?那么，就很容易就得到了
然后，这个公式有其他形式，
?3.图卷积网络公式
通过上面f（节点的embeddings）和h（卷积核）之间的卷积，就得到了第一代GCN。
?之后就是改进。
第二部分，对原始GCN的改进，得到现在常用的模型公式
改进重点就是把卷积核的表示方式做优化，让计算变得简单。
1.Chebyshev多项式作为GCN卷积核
Chebyshev多项式作为GCN卷积核 - 知乎利用Chebyshev多项式拟合卷积核是GCN论文中广泛应用的方法 。在这篇文章中，我会推导相应的公式，并举一个具体的栗子。在之前的回答中（ 如何理解 Graph Convolutional Network（GCN）？），已经推导出了如下GCN的…
https://zhuanlan.zhihu.com/p/106687580上面这个连接介绍了具体的细节。最后得到了，Chebyshev多项式作为GCN卷积核的形式。
2.得到常用的GCN模型公式
现在GCN常用的模型公式如下图所示：
图神经网络模型类似于下面这种：
?
?现在讲讲，怎么推导到上面的形式。这部分参考论文《SEMI -SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS》。
首先，Chebyshev多项式作为GCN卷积核，那么卷积核与节点embeddings之间的卷积如下图：
?并且
?在论文《SEMI -SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS》里面，他提到，（max）
?2，并且取K=1阶的Chebyshev多项式。
代入上式很容易得到
化为下面的矩阵形式：
?然后利用一个renormalization trick
?就得到了我们常用的形式：?
?这里面的就是W,而X就是H。
结束！！