[人工智能]【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换频移性质示例 )

一、傅里叶变换时移性质

傅里叶变换频移性质 :

" 序列信号 $x(n)$ " 的 " 傅里叶变换 A " ,

" 序列信号 $x(n)$ " 与 " 单位复指数 $e^{j{\omega }_{0}n}$ " 相乘 , 得到的 " 序列 B " ,

注意这里的 单位复指数 中的 ${\omega }_0$ 就是 傅里叶变换 中的移位 ,

求该 " 序列 B " 的 " 傅里叶变换 C " ,

" 傅里叶变换 A " 与 " 傅里叶变换 C " 这两个频域信息形状相同 , 位移相差 ${\omega }_0$ ;

也就是说

" 傅里叶变换 A " 移位 ${\omega }_0$ 后, 得到 " 傅里叶变换 C " ;

使用公式表示为 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=X(e^{j(\omega ?{\omega }_0)})$$

二、傅里叶变换时移性质示例

已知序列

x 1 ( n ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 } x_1(n)=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,1\} x1?(n)={1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,1}

$x_2(n)$ 序列 是 $x_1(n)$ 序列 乘以 " 单位复指数 " $e^{j{\omega }_{0}n}$ , 其中 ${\omega }_0=\frac{\pi }{2}$ , 表示为 :

$$x_2(n)=x_1(n)e^{j\pi n/2}$$

x 1 ( n ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 } x_1(n)=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,1\} x1?(n)={1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,1} 序列的 " 幅频特性 " , 即 $x_1(n)$ 的傅里叶变换取模 :

$$|X_1(e^{j\omega })|$$

如下图所示 :

$x_2(n)$ 序列的 " 幅频特性 " , 即 $x_2(n)$ 的傅里叶变换取模 :

$$|X_2(e^{j\omega })|$$

如下图所示 :

$x_2(n)=x_1(n)e^{j\pi n/2}$ 序列相对于 $x_1(n)$ 序列 , 其 傅里叶变换 平移了 $\frac{\pi }{2}$ ;

$x_1(n)$ 和 $x_2(n)$ 幅频特性 相差 $\frac{\pi }{2}$ ;

根据 " 傅里叶变换频移性质 " , $x_2(n)$ 的幅频特性 , 相对于 $x_1(n)$ 的幅频特性 , 向右平移了 $\frac{\pi }{2}$ 单位 ;

$x_1(n)$ 的 " 相频特性 " 如下 :

$x_2(n)$ 的 " 相频特性 " 如下 :

$x_2(n)=x_1(n)e^{j\pi n/2}$ 序列相对于 $x_1(n)$ 序列 , 其 傅里叶变换 平移了 $\frac{\pi }{2}$ ;

$x_1(n)$ 和 $x_2(n)$ 相频特性 相差 $\frac{\pi }{2}$ ;

根据 " 傅里叶变换频移性质 " , $x_2(n)$ 的相频特性 , 相对于 $x_1(n)$ 的相频特性 , 向右平移了 $\frac{\pi }{2}$ 单位 ;