绘制度分布是分析网络属性的一个组成部分。该过程从获得 N k N_{k} Nk?开始，即度数为 k k k的节点数。这可以通过直接测量或模型来提供。从 N k N_{k} Nk?我们计算出 p k = N k / N p_{k}=N_{k}/N pk?=Nk?/N。问题是，如何绘制 p k p_{k} pk?以最好地提取其属性。
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- 使用log-log图
在无标度网络中，具有一或两条链路的众多节点与少数节点共存，其中少数节点为具有数千甚至数百万链路的节点。使用线性 k 轴压缩无数小k区域中的节点，使它们不可见。类似地，由于 k = 1 k=1 k=1和大 k k k的 p k p_{k} pk?可能存在数量级差异，如果我们在线性垂直轴上绘制 p k p_{k} pk?，大 k k k的值将显示为零（图 4.22a）。对数图的使用避免了这些问题。
我们可以使用10次方的对数轴（图 4.22b），或者我们可以绘制 log ? k \log k logk函数的 log ? k \log k logk。请注意， p k = 0 p_{k}=0 pk?=0或 k = 0 k=0 k=0的点不会在 log ? ? log ? \log - \log log?log图上显示，因为 log ? 0 = ? ∞ \log0=-\infty log0=?∞。 - 避免Linear Binning
最有缺陷的方法（但在文献中经常出现）是在对数图上简单地绘制 p k = N k / N p_{k}=N_{k}/N pk?=Nk?/N（图 4.22b）。这称为线性分箱（Linear Binning），因为每个bin具有相同的大小 Δ k = 1 \Delta k=1 Δk=1。对于无标度网络，linear binning会在大 k k k处产生显而易见的平台，由形成水平线的大量数据点组成（图 4.22b）。这个平台有一个简单的解释：通常我们只有一个高度节点的样本，因此在高 k k k区域中，我们要么有 N k = 0 N_{k}=0 Nk?=0（没有具有 k k k度的节点），要么有 N k = 1 N_{k}=1 Nk?=1（具有 k k k度的单个节点）。
因此，Linear Binning将提供 p k = 0 p_{k}=0 pk?=0（未在对数图上显示）或 p k = 1 / N p_{k}=1/N pk?=1/N（适用于所有hubs），在 p k = 1 / N p_{k}=1/N pk?=1/N处生成一个平台。
这个平台会影响我们估计度指数 γ \gamma γ的能力。例如，如果我们尝试使用linear binning对图4.22b中所示的数据拟合幂律，则获得的 γ \gamma γ与实际值 γ = 2.5 \gamma =2.5 γ=2.5完全不同。原因是在linear binning下，我们在小 k k k的bin中有大量节点，这使我们能够自信地在这种情况下拟合 p k p_{k} pk?。在大 k k k的bin中，我们的节点太少，无法对 p k p_{k} pk?进行适当的统计估计。相反，新出现的平台会使得拟合参数偏离。然而，正是这种高 k k k状态在确定 γ \gamma γ中起关键作用。增加bin大小不会解决这个问题。因此，建议避免对肥尾分布进行Linear binning。 - 使用Logarithmic Binning
?Logarithmic binning纠正了linear binning的非均匀采样。对于log-binning，我们让bin大小随程度增加，确保每个bin具有相当数量的节点。例如，我们可以选择bin大小为2的倍数，这样第一个bin的大小为 b 0 = 1 b_{0}=1 b0?=1，包含所有 k = 1 k=1 k=1的节点；第二个大小为 b 1 = 2 b_{1}=2 b1?=2，包含度数 k = 2 , 3 k=2,3 k=2,3的节点；第三个bin的大小为 b 2 = 4 b_{2}=4 b2?=4，包含度数 k = 4 , 5 , 6 , 7 k=4,5,6,7 k=4,5,6,7的节点。通过归纳，第 n n n个bin的大小为 2 n ? 1 2n-1 2n?1，包含度数的所有节点。请注意，bin大小可以随任意增量增加， b n = c n b_{n}=c^{n} bn?=cn，其中 c > 1 c>1 c>1。度分布由 p < k > = N n / ( N b n ) p_{<k>}=N_{n}/(Nb_{n}) p<k>?=Nn?/(Nbn?)给出，其中 N n N_{n} Nn?是在大小为 b n b_{n} bn?的 b i n n bin_{n} binn?中找到的节点数， < k n > <k_{n}> <kn?>是bin b n b_{n} bn?中节点的平均度数。
图4.22c显示了logarithmic binning的 p k p_{k} pk?。请注意，现在扩展到高 k k k平台，其本来在linear binning下不可见。因此，logarithmic binning也可以从稀有的高度节点中提取有用信息。由于上述操作相当于把每个bin中的度的 p k p_{k} pk?进行平均，所以最终在高 k k k的bin中有些 p k p_{k} pk?是0，所以平均之后的值要小于 p k = 1 / N p_{k}=1/N pk?=1/N，这是要值得注意的。 - 使用累积分布（Cumulative Distribution）
?从 p k p_{k} pk?的尾部提取信息的另一种方法是绘制互补累积分布，
P k = ∑ q = k + 1 ∞ p q , P_{k}=\sum^{\infty}_{q=k+1}p_{q}, Pk?=q=k+1∑∞?pq?,
这再次增强了高k区域的统计显著性。 如果 p k p_{k} pk?遵循幂律 p k = k ? γ p_{k}=k^{-\gamma} pk?=k?γ，则累积分布缩放为
p k ～ k ? γ + 1 . p_{k}\sim k^{-\gamma+1}. pk?～k?γ+1.
累积分布再次消除了linear binning观察到的平台,并扩展了区域（图 4.22d），从而可以更准确地估计度指数。
参考文献：barabasi，network science，chapter4.
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