L
a
g
r
a
n
g
e
插
值
法
：
Lagrange插值法：
Lagrange插值法：
给
定
一
组
点
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
.
.
.
(
x
n
,
y
n
)
给定一组点 (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})...(x_{n},y_{n})
给定一组点(x1?,y1?),(x2?,y2?)...(xn?,yn?)
n
次
拉
格
朗
日
插
值
基
函
数
??
P
i
(
x
)
=
∏
j
=
1
,
j
≠
i
n
x
?
x
j
x
i
?
x
j
n次拉格朗日插值基函数 \ \ P_{i}(x)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x{j}}
n次拉格朗日插值基函数??Pi?(x)=j=1,j?=i∏n?xi??xjx?xj??
拉
格
朗
日
插
值
多
项
式
??
L
n
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
y
i
P
i
拉格朗日插值多项式\ \ L_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n}y_{i}P_{i}
拉格朗日插值多项式??Ln?(x)=i=1∑n?yi?Pi?
举个例子：假如我们只有三个点, 那么
L
2
(
x
)
=
(
x
?
x
1
)
(
x
?
x
2
)
(
x
0
?
x
1
)
(
x
0
?
x
2
)
y
0
+
(
x
?
x
0
)
(
x
?
x
2
)
(
x
1
?
x
0
)
(
x
1
?
x
2
)
y
1
+
(
x
?
x
0
)
(
x
?
x
1
)
(
x
2
?
x
0
)
(
x
2
?
x
1
)
y
2
L_{2}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}y_{0}+\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}y_{1}+\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}y_{2}
L2?(x)=(x0??x1?)(x0??x2?)(x?x1?)(x?x2?)?y0?+(x1??x0?)(x1??x2?)(x?x0?)(x?x2?)?y1?+(x2??x0?)(x2??x1?)(x?x0?)(x?x1?)?y2?
python 实现
方法一：
from scipy.interpolate import lagrange
x = [1,3,5]
y = [2,10,1]
print(lagrange(x, y)) #拟合曲线
print(lagrange(x, y)(10)) #估值
结果：
2
-2.125 x + 12.5 x - 8.375
-95.875
方法二：
x = [1, 3, 5]
y = [2, 10, 1]
def lagrange_Interpolation(x1):
P = []
L_n = 0
for i in range(len(x)):
numerator=1 #分子初始化
denominator=1 #分母初始化
for j in range(len(x)):
if j!=i:
numerator*=(x1-x[j])
denominator*=(x[i]-x[j])
P.append(numerator/denominator)
for i in range(len(y)):
L_n+=y[i]*P[i]
return round(L_n,3) #保留3位小数
print(lagrange_Interpolation(10))
结果：
-95.875
看拟合曲线图像：
import numpy
import matplotlib
from matplotlib import pyplot
x2=numpy.linspace(-10,10,20,endpoint=False) #从-10到10 20个点去拟合曲线
print(x2)
y2=[]
for i in range(len(x2)):
y2.append(lagrange_Interpolation(x2[i]))
print(y2)
pyplot.plot(x2,y2)
pyplot.scatter(x,y, marker=".")
pyplot.show()
结果：
