1. 理论基础

在上一篇文章中我们讲了线性回归，但是很多时候，仅仅使用线性回归拟合出来的直线并不能满足我们的需求，也就是精度欠佳，所以更多的时候我们使用多项式回归来处理拟合问题。其实多项式回归，原理和线性回归是一样的。

比如我们要拟合下列函数：
$y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 0.5$
我们可以设置如下所示的参数类型方程：
$y = w_3x^3 + w_2x^2 + w_1x + b$

2. 代码示例

下列示例的步骤：

数据生成：生成 $y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 0.5$ 的数据，注意这里没有携带误差。
自定义模型：使用nn.Linear(3,1)指定输入输出的维度。注意这里的输入的维度是3，输入数据分别为x的一次、二次和三次。
损失函数和优化器的选择：MSE损失和SGD优化器。
开始训练：因为没有携带误差，直接指定损失误差比较好，所以没有指定迭代次数。
显示结果：显示最终的多项式回归效果。

'''
功能：多项式回归
'''
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from torch import nn

#-------------------------------------数据准备--------------------------------------
# 目标权重和偏置
w = torch.FloatTensor([2.0, 3.0, 4.0]).unsqueeze(1)
b = torch.FloatTensor([0.5])

#一次生成32个数据
def create_data(batch_size=32):
    random = torch.randn(batch_size)
    random = random.unsqueeze(1)  # 添加一个维度
    # 纵向连接tensor
    x = torch.cat([random**i for i in range(1,4)], 1) # b/x/^2/x^3
    # 矩阵乘法
    y = x.mm(w) + b[0] # mm表示矩阵相乘，mul为对应元素相乘
    if torch.cuda.is_available():
        return x.cuda(), y.cuda()
    return x, y

#-------------------------------------自定义模型--------------------------------------
class PloyRegression(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(PloyRegression, self).__init__()
        self.ploy = nn.Linear(3,1) #输入3维(分别表示x/x^2/x^3)，输出1维
        
    def forward(self, x):
        out = self.ploy(x)
        return out

model = PloyRegression()
if torch.cuda.is_available():
    model = model.cuda()

  #------------------------损失函数、优化器的选择----------------------------
criterion = torch.nn.MSELoss()
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=1e-3)

#------------------------开始训练----------------------------
epoch = 0
while True:
    # 创建数据
    batch_x, batch_y = create_data() #一次生成32个数据
    # 前向传播
    output = model(batch_x)
    # 损失计算
    loss = criterion(output, batch_y)
    # 获取损失值
    loss_value = loss.data.cpu().numpy()
    # 梯度置零
    optimizer.zero_grad()
    # 反向传播
    loss.backward()
    # 更新参数
    optimizer.step()
    
    epoch += 1
    #损失函数小于一定的值才会退出来
    if loss_value < 1e-3:
        break
    # 每100步打印一次损失
    if (epoch+1)%100==0:
        print("Epoch{}, loss:{:.6f}".format(epoch+1, loss_value))

#-------------------------------------测试--------------------------------------
print("start eval!!!")
model.eval()  # 开启验证模式

# 构造数据
x_train = np.array([ [i] for i in range(20) ],dtype = np.float32)
x_train = torch.from_numpy(x_train)

x = torch.cat([x_train**i for i in range(1,4)], 1)
y = x.mm(w) + b
# 绘制数据点
plt.plot(x_train.numpy(),y.numpy(),'ro') 
# 提取拟合参数
w_get = model.ploy.weight.data.T
b_get = model.ploy.bias.data
print('w:{},b:{}'.format(w_get.cpu().numpy(), b_get.cpu().numpy()))
# 计算预测值
Y_get = x.mm(w_get.cpu())  + b_get.cpu()
plt.plot(x_train.numpy(), Y_get.numpy(), '-')
plt.show()