UA OPTI544 量子光学9 补充：多普勒增宽
多普勒效应
多普勒效应（Doppler effect）是波源和观察者有相对运动时，观察者接受到波的频率与波源发出的频率并不相同的现象。在声波领域，用
f
′
f'
f′表示观察者观察到的频率，
f
f
f表示波源的频率，以介质作为参考系，假设波在介质中的传播速度为
v
v
v，观察者相对介质的运动速度为
v
O
v_O
vO?（靠近波源的方向为正），波源相对介质的运动速度为
v
S
v_S
vS?（远离观察者的方向为正），则
f
′
=
v
+
v
O
v
?
v
S
f
f'=\frac{v+v_O}{v-v_S}f
f′=v?vS?v+vO??f
在光学领域，因为光速的影响，我们需要引入狭义相对论来讨论多普勒效应。现在以波源为参考系，假设观察者与波源以
v
v
v的速度彼此远离，当某一波前抵达观察者处时，下一个最接近的波前到观察者的距离为一个波长
λ
=
c
f
\lambda=\frac{c}{f}
λ=fc?
因为观察者与波源之间存在相对速度，观察者接收到一个完整的波的时间为
t
=
λ
c
?
v
=
1
(
1
?
v
c
)
f
t=\frac{\lambda}{c-v}=\frac{1}{(1-\frac{v}{c})f}
t=c?vλ?=(1?cv?)f1?
对于高速运动的光，我们要考虑到狭义相对论的时间膨胀效应，因此观察者观察到一个完整的波的时间会比上一个公式计算出来的更长，
t
O
=
t
1
1
?
v
2
c
2
t_O=\frac{t}{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}
tO?=1?c2v2?
?1?t?
因此观察者观察到的频率为
f
′
=
1
t
O
=
1
?
v
c
1
+
v
c
f
f'=\frac{1}{t_O}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}f
f′=tO?1?=1+cv?1?cv??
?f
这被称为相对论多普勒效应。
Doppler Broadening
多普勒增宽（Doppler broadening）是因为粒子的运动速度分布产生的多普勒效应造成谱线增宽的现象。粒子的不同运动速度造成了不同的多普勒位移，而这些效应的线性累积结果就是谱线增宽。一种最重要的情形就是是由粒子热运动而发生的热多普勒增宽。为了简单起见，我们就不用相对论多普勒效应了。考虑
f
′
=
v
+
v
O
v
?
v
S
f
f'=\frac{v+v_O}{v-v_S}f
f′=v?vS?v+vO??f
在这个公式中，取
v
S
=
0
,
v
O
=
v
,
v
=
c
v_S=0,v_O=v,v=c
vS?=0,vO?=v,v=c，
f
′
=
(
1
+
v
c
)
f
f'=\left(1+\frac{v}{c} \right)f
f′=(1+cv?)f
假设
f
=
w
0
2
π
f=\frac{w_0}{2\pi}
f=2πw0??，其中
w
0
w_0
w0?是粒子的resonance frequency，因此角频率的多普勒效应公式为
w
2
π
=
(
1
+
v
c
)
w
0
2
π
w
=
w
0
+
w
0
c
v
=
w
0
+
k
v
\frac{w}{2 \pi}=\left(1+\frac{v}{c} \right) \frac{w_0}{2 \pi} \\ w = w_0+\frac{w_0}{c}v=w_0+kv
2πw?=(1+cv?)2πw0??w=w0?+cw0??v=w0?+kv
其中
k
k
k为波数，
k
=
2
π
λ
=
2
π
c
/
f
=
w
0
c
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{c/f}=\frac{w_0}{c}
k=λ2π?=c/f2π?=cw0??。直接用热力学中的结论，粒子速度服从Maxwell-Boltzmann分布
P
(
v
)
=
1
2
π
σ
v
2
e
?
v
2
2
σ
v
2
,
σ
v
=
k
B
T
M
P(v)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_v^2}}e^{-\frac{v^2}{2 \sigma_v^2}},\sigma_v=\sqrt{\frac{k_BT}{M}}
P(v)=2πσv2?
?1?e?2σv2?v2?,σv?=MkB?T?
?
其中
M
M
M是粒子质量，
T
T
T是热力学温度，
k
B
k_B
kB?是Boltzmann常数。根据角频率的多普勒效应公式，
v
=
w
?
w
0
k
v=\frac{w-w_0}{k}
v=kw?w0??
由此可以推导粒子角频率的分布
P
(
w
)
=
P
(
v
(
w
)
)
∣
v
′
(
w
)
∣
=
1
2
π
k
2
σ
v
2
e
?
(
w
?
w
0
)
2
2
k
2
σ
v
2
P(w)=P(v(w))|v'(w)|=\frac{1}{\sqrt{2 \pi k^2\sigma_v^2}}e^{-\frac{(w-w_0)^2}{2 k^2\sigma_v^2}}
P(w)=P(v(w))∣v′(w)∣=2πk2σv2?
?1?e?2k2σv2?(w?w0?)2?
可以发现在多普勒效应下，角频率分布的方差会因为波数而扩大，这就是多普勒增宽的的数学解释，并且多普勒增宽程度与
k
σ
v
k\sigma_v
kσv?成正比。
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