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[人工智能]视觉里程计:2D到2D,对极几何法 |
对于经特征匹配得到的两图像间配对的特征点,可恢复得到两帧图像间相机的运动。 对极约束名词解释如上图,对于两帧图像 I 1 、 I 2 I_1、I_2 I1?、I2?,P在其上投影分别为 p 1 、 p 2 p_1、p_2 p1?、p2?。相机的中心分别为 O 1 、 O 2 O_1、O_2 O1?、O2?,则有如下定义:
记两帧图像间的变换为 T 12 T_{12} T12?,实际求解中,特征点 p 1 、 p 2 p_1、p_2 p1?、p2?通过特征匹配得到, P 、 e 1 、 e 2 P、e_1、e_2 P、e1?、e2?未知,待求变换 T 12 T_{12} T12?。 像素坐标对于世界坐标下某点
P
=
[
X
Y
Z
]
T
P=\begin{bmatrix}X&Y&Z\end{bmatrix}^T
P=[X?Y?Z?]T,由针孔相机模型可知其在图像坐标系下的像素坐标位置: 齐次坐标通常采用齐次坐标表示像素坐标,也即一个向量同它自身乘以任意非零整数意义相同。通常用于表达一个投影变换。如
s
1
p
1
s_1p_1
s1?p1?同
p
1
p_1
p1?成投影关系,他们在齐次坐标下意义相同。称其为尺度意义下相等,记作: 对极约束对上式两侧左乘
t
∧
t^\wedge
t∧再左乘
x
2
T
x_2^T
x2T?: 为简化公式,定义两个矩阵:基础矩阵(Fundamental Matrix)F和本质矩阵(Essential Matrix)E:
本质矩阵本质矩阵 E = t ∧ R E=t^\wedge R E=t∧R是一个 3 × 3 3\times 3 3×3的矩阵,满足如下规则约束:
八点法求解本质矩阵E为 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵,具有九个维度。此处仅考虑尺度等价性,则可用8对点估计本质矩阵E。 对于一对匹配的特征点,设其归一化坐标为
x
1
=
[
u
1
v
1
1
]
x_1=\begin{bmatrix}u_1&v_1&1\end{bmatrix}
x1?=[u1??v1??1?]和
x
2
=
[
u
2
v
2
1
]
x_2=\begin{bmatrix}u_2&v_2&1\end{bmatrix}
x2?=[u2??v2??1?],则可根据对极约束得到: 通过求解上述线性方程组,即可得到本质矩阵E。 SVD分解针对估计所得的本质矩阵E,计算对应的相机运动 R 、 t R、t R、t,应使用SVD分解进行求得。有关SVD分解的基础内容,可以学习如下文章:奇异值分解(SVD) 设本质矩阵E的SVD如下: 如上图,用蓝色线表示相机,红色点(蓝线同黑线交点)表示空间点在相机上的投影。上述四种解中,仅第一种解中P在两个相机中都具备正向深度,故而可排除其余四种。 内在性质根据线性方程组求解得到的E可能不满足其内在性质,也即奇异值不一定为 [ σ σ 0 ] T \begin{bmatrix}\sigma&\sigma&0\end{bmatrix}^T [σ?σ?0?]T形式。 通常,刻意将
Σ
\Sigma
Σ矩阵调整为上述形式,也即对八点法求得的E进行SVD分解后,得到的奇异值矩阵
Σ
=
d
i
a
g
(
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
)
\Sigma=\mathrm{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)
Σ=diag(σ1?,σ2?,σ3?),假设
σ
1
≥
σ
2
≥
σ
3
\sigma_1\ge \sigma_2\ge \sigma_3
σ1?≥σ2?≥σ3?,则取: 八点法存在的问题尺度不确定性由于E本身具备尺度等价性,分解计算得到的 R 、 t R、t R、t也具备尺度等价性。此时由于 R ∈ S O ( 3 ) R\in SO(3) R∈SO(3)存在约束,故而认为 t t t具备一个尺度。由此,对t进行归一化处理,使其长度为1。由于归一化,将直接导致单目视觉尺度不确定。 初始化纯旋转若相机在初始化时发生的运动为纯旋转,也即由E分解得到的 R 、 t R、t R、t中 t = 0 t=0 t=0时,将导致无法直接求解 R R R 多于8对点时当给定的匹配特征点多于8对时,可使用最小二乘计算对极约束,记系数矩阵为
A
A
A则有: 单应矩阵单应矩阵(Homography)H用于描述两平面间的映射关系。若场景内特征点都落至某一平面上(墙、地面),则可使用单应性估计运动。 对于像平面
I
1
、
I
2
I_1、I_2
I1?、I2?上匹配的两特征点
p
1
、
p
2
p_1、p_2
p1?、p2?,若特征点落在某平面P上: 将
p
1
、
p
2
p_1、p_2
p1?、p2?的归一化像素坐标带入: 小结在2D-2D的情况下,仅知道图像坐标间对应关系:
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