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n
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e
s
t
Ehrenfest
Ehrenfest 模型】
设
A
A
A 和
B
B
B 两个罐子总共装有
2
a
2a
2a 个球，记在时刻
n
n
n 时
A
A
A 罐中有
Y
n
Y_n
Yn? 个球，则在时刻
n
n
n 时
B
B
B 罐中有
2
a
?
Y
n
2a-Y_n
2a?Yn? 个球。
则此刻抽中
B
B
B 罐中的球，使
A
A
A 罐中的球变为
Y
n
+
1
Y_n+1
Yn?+1 个的概率为
(
2
a
?
Y
n
)
/
2
a
(2a-Y_n)/2a
(2a?Yn?)/2a； 而此刻抽中
A
A
A 罐中的球，使
A
A
A 罐中的球变为
Y
n
?
1
Y_n-1
Yn??1 个的概率为
Y
n
/
2
a
Y_n/2a
Yn?/2a。
若定义
n
n
n 时刻
A
A
A 罐中的球数
Y
n
Y_n
Yn? 超出总球数一半的量为
X
n
X_n
Xn?， 则有
X
n
=
Y
n
?
a
X_n=Y_n-a
Xn?=Yn??a，且
{
X
n
}
\{X_n\}
{Xn?} 为一个
M
a
r
k
o
v
Markov
Markov 链，它可取有限个状态：
?
a
,
?
a
+
1
,
?
?
,
0
,
1
,
?
?
,
a
-a,-a+1,\cdots,0,1,\cdots,a
?a,?a+1,?,0,1,?,a
从而，得到一步转移概率为：
P
X
n
X
n
+
1
=
{
a
?
X
n
2
a
,
当
X
n
+
1
=
X
n
+
1
a
+
X
n
2
a
,
当
X
n
+
1
=
X
n
?
1
0
,
其他情形
P_{X_nX_{n+1}}= \begin{cases} \displaystyle \frac{a-X_n}{2a},& \text{当$X_{n+1}=X_n+1$}\\[2ex] \displaystyle \frac{a+X_n}{2a},& \text{当$X_{n+1}=X_n-1$}\\[2ex] 0,& \text{其他情形} \end{cases}
PXn?Xn+1??=??????????????2aa?Xn??,2aa+Xn??,0,?当Xn+1?=Xn?+1当Xn+1?=Xn??1其他情形?
这是因为，当
X
n
+
1
=
X
n
+
1
X_{n+1}=X_n+1
Xn+1?=Xn?+1 时，等价于上文中“抽中
B
B
B 罐中的球，使
A
A
A 罐中的球变为
Y
n
+
1
Y_n+1
Yn?+1 个”，即概率为
2
a
?
Y
n
2
a
=
2
a
?
(
X
n
+
a
)
2
a
=
a
?
X
n
2
a
\displaystyle \frac{2a-Y_n}{2a}=\frac {2a-(X_n+a)}{2a}=\frac {a-X_n}{2a}
2a2a?Yn??=2a2a?(Xn?+a)?=2aa?Xn??；当
X
n
+
1
=
X
n
?
1
X_{n+1}=X_n-1
Xn+1?=Xn??1 时，等价于上文中“抽中
A
A
A 罐中的球，使
A
A
A 罐中的球变为
Y
n
?
1
Y_n-1
Yn??1 个”，即概率为
Y
n
2
a
=
X
n
+
a
2
a
=
a
+
X
n
2
a
\displaystyle \frac{Y_n}{2a}=\frac {X_n+a}{2a}=\frac {a+X_n}{2a}
2aYn??=2aXn?+a?=2aa+Xn??
若用
i
i
i 记
X
n
X_n
Xn?，用
j
j
j 记
X
n
+
1
X_{n+1}
Xn+1?，则一步转移概率表示为：
P
i
j
=
{
a
?
i
2
a
,
当?
j
=
i
+
1
i
2
a
,
当?
j
=
i
?
1
0
,
其他情形
P_{ij}= \begin{cases} \displaystyle \frac{a-i}{2a},& \text{当 $j=i+1$}\\[2ex] \displaystyle \frac{i}{2a},& \text{当 $j=i-1$}\\[2ex] 0,& \text{其他情形} \end{cases}
Pij?=??????????????2aa?i?,2ai?,0,?当?j=i+1当?j=i?1其他情形?
【本文的LaTeX代码】
【$Ehrenfest$ 模型】
设 $A$ 和 $B$ 两个罐子总共装有 $2a$ 个球，记在时刻 $n$ 时 $A$ 罐中有 $Y_n$ 个球，则在时刻 $n$ 时 $B$ 罐中有 $2a-Y_n$ 个球。
则此刻抽中 $B$ 罐中的球，使 $A$ 罐中的球变为 $Y_n+1$ 个的概率为 $(2a-Y_n)/2a$； 而此刻抽中 $A$ 罐中的球，使 $A$ 罐中的球变为 $Y_n-1$ 个的概率为 $Y_n/2a$。
若定义 $n$ 时刻 $A$ 罐中的球数 $Y_n$ 超出总球数一半的量为 $X_n$， 则有 $X_n=Y_n-a$，且 $\{X_n\}$ 为一个 $Markov$ 链，它可取有限个状态：$-a,-a+1,\cdots,0,1,\cdots,a$
从而，得到一步转移概率为：
$$P_{X_nX_{n+1}}=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{a-X_n}{2a},& \text{当$X_{n+1}=X_n+1$}\\[2ex]
\displaystyle \frac{a+X_n}{2a},& \text{当$X_{n+1}=X_n-1$}\\[2ex]
0,& \text{其他情形}
\end{cases}$$
这是因为，当 $X_{n+1}=X_n+1$ 时，等价于上文中“抽中 $B$ 罐中的球，使 $A$ 罐中的球变为 $Y_n+1$ 个”，即概率为 $\displaystyle \frac{2a-Y_n}{2a}=\frac {2a-(X_n+a)}{2a}=\frac {a-X_n}{2a}$；当 $X_{n+1}=X_n-1$ 时，等价于上文中“抽中 $A$ 罐中的球，使 $A$ 罐中的球变为 $Y_n-1$ 个”，即概率为 $\displaystyle \frac{Y_n}{2a}=\frac {X_n+a}{2a}=\frac {a+X_n}{2a}$
若用 $i$ 记 $X_n$，用 $j$ 记 $X_{n+1}$，则一步转移概率表示为：
$$P_{ij}=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{a-i}{2a},& \text{当 $j=i+1$}\\[2ex]
\displaystyle \frac{i}{2a},& \text{当 $j=i-1$}\\[2ex]
0,& \text{其他情形}
\end{cases}$$
【参考文献】
https://blog.csdn.net/hhy_csdn/article/details/83722106
https://www.it610.com/article/1279136766724423680.htm