[人工智能]朴素贝叶斯：教你用Python一步步识别手写数字

朴素贝叶斯

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类方法，由于现实中很难满足『特征条件独立假设』，这也是为什么他被叫做『朴素』贝叶斯的原因。

下面将用朴素贝叶斯发来实现手写数字的识别。

问题描述

我用的数据集是sklearn中的一个数据集，先导入它

from sklearn.datasets import load_digits
digits = load_digits()

简单介绍一下这个数据集，它包含$1797$张$8\times 8$大小的图片，每张图片也就是$64$个特征，我们可以把他标记为：
$$x=(x_1,?,x_{64}{)}^T$$
每张图片都有对应一个输出$y$，范围为$0$到$9$的整数，也就是图片对应的数字。
为了更加直观地感受，可以拿一部分出来可视化一下

fig = plt.figure(figsize=(6, 6))
fig.subplots_adjust(left=0, right=1, bottom=0, top=1, hspace=0.05, wspace=0.05)

for i in range(64):
    ax = fig.add_subplot(8, 8, i + 1, xticks=[], yticks=[])
    ax.imshow(digits.images[i], cmap=plt.cm.binary, interpolation='nearest')
    ax.text(0, 7, str(digits.target[i]))

plt.show()

效果如下所示：

图片的左下角就是真实的数字，也就是每个数据$x$对应的$y$值。

然后我们要做的就是根据输入$x$，也就是每个像素点的值，来判断它对应的数字$y_{predict}$。

理论部分

对于一个给定的输入$x=(x_1,?,x_n)$，假设他的输出一共有$M$种可能，我们把他记为 y = { y 1 , ? ? , y M } y=\{y_1, \cdots, y_M\} y={y1?,?,yM?}，然后我们要做的就是，在输入为$x$情况下，计算输出为$y$中每一个值的概率，我们把他记为$p_m$，
$$p_m=\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m|X=x)=\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m|X_1=x_1,?,X_n=x_n)$$
最后我们返回的就是其中概率最大的一种可能，也就是
$$y_{predict}={\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_{y_m}\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m|X_1=x_1,?,X_n=x_n)$$

下面要处理的就是一个寻找最大值的问题了，根据贝叶斯定理则有

$$\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m|X=x)=\frac{\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)\mathrm{P}\mathrm{r}(X=x|Y=y_m)}{\mathrm{P}\mathrm{r}(X=x)}$$
由于朴素贝叶斯法是基于每个变量相对独立假设的，也就是说我们假设$(x_1,?,x_n)$的分布是相互独立的，上面的式子可以进一步写为
$$\begin{array}{rl}\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m|X=x)& =\frac{\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)\mathrm{P}\mathrm{r}(X_1=x_1|Y=y_m)\times ?\times \mathrm{P}\mathrm{r}(X_n=x_n|Y=y_m)}{\mathrm{P}\mathrm{r}(X=x)}\\ & =\frac{\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m){\prod }_i\mathrm{P}\mathrm{r}(X_i=x_i|Y=y_m)}{\mathrm{P}\mathrm{r}(X=x)}\end{array}$$

因为每个估计值$p_m$求解式子分母都是$\mathrm{P}\mathrm{r}(X=x)$，所以我们要处理的问题就变成了
$$y_{predict}={\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_{y_m}\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)\prod _i\mathrm{P}\mathrm{r}(X_i=x_i|Y=y_m)$$
为了便于计算，我们对上面式子做$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}$处理，使得乘法变为加法，便于计算
$$y_{predict}={\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}_{y_m}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)+\sum _i\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{P}\mathrm{r}(X_i=x_i|Y=y_m)$$
最后的一个问题就是如何计算$\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)$和$\mathrm{P}\mathrm{r}(X_i=x_i|Y=y_m)$。

其中$\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)$很好处理，我们只需要从测试集中统计每种$y_m$出现的概率，也就是先验概率。
$\mathrm{P}\mathrm{r}(X_i=x_i|Y=y_m)$相对复杂一些，我们需要获取测试集中输出为$y_m$特征值$x_i$的均值${\mu }_{mi}$和方差${\sigma }_{mi}$，然后通过以下公式计算得到
$$\mathrm{P}\mathrm{r}(X_i=x_i|Y=y_m)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{mi}^2}}{e}^{?\frac{(x_i?{\mu }_{xi}{)}^2}{2{\sigma }_{mi}^2}}$$

小结

我们先整理一下思路，来看看我们下面具体要做些什么。

1. 获取一个测试集，统计测试集中每种输出$y_m$对应特征值$x$的先验概率$\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)$、均值${\mu }_m$、方差${\sigma }_m$。
2. 输入任意一个张图片的像素信息$x$利用第一步中得到的先验概率$\mathrm{P}\mathrm{r}(Y=y_m)$、均值${\mu }_m$、方差${\sigma }_m$，估计出$y_{predict}$并与真实值$y_{true}$进行对比，查看效果。

Python实现

划分数据集

这里直接调用sklearn中的api来实现数据集的划分，

from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.model_selection import train_test_split

digits = load_digits()
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(digits.data,
                                                    digits.target,
                                                    test_size=0.3)

其中x_train和y_train是我们用来训练的数据，分别对应于特征值和正确输出，完成模型的学习后，我们利用x_test和y_test来评估模型的好坏。

模型训练

根据之前的理论，我们知道，要先用训练集来获取一些样本的均值、方差、先验概率，注意这里不需要什么梯度下降之类的优化。我们可以定义一个class来便于我们的调用。

class NaiveBayes:
    def train(self, X: np.ndarray, y: np.ndarray):
        """
        训练函数，获取训练集的均值，方差，先验概率
        """
        # 获取数据集大小
        n_samples, n_features = X.shape
        # 获取数据集类别和类别数
        self._classes = np.unique(y)
        n_classes = len(self._classes)
        # print(self._classes)
        # 初始化均值，方差，先验概率
        self._mean = np.zeros((n_classes, n_features), dtype=float)
        self._var = np.zeros((n_classes, n_features), dtype=float)
        self._priors = np.zeros(n_classes, dtype=float)
        # 计算均值，方差，先验概率
        for c in self._classes:
        	# 找到输出为c的样本
            X_c = X[c == y]
            # 获取输出为c的均值，方差，先验概率
            self._mean[c, :] = X_c.mean(axis=0)
            self._var[c, :] = X_c.var(axis=0)
            self._priors[c] = X_c.shape[0] / float(n_samples)

模型预测

获取训练集的均值、方差、先验概率后，我们就可以对测试集做出预测了

    def predict(self, X) -> List[int]:
        """
        获取测试集的预测
        :return: 预测结果
        """
        pred = []
        for x in X:
        	# 统计每中输出的可能性
            probs = []
            for y in range(len(self._classes)):
                probs.append(self._cal_prob(x, y))
            # 找到概率最大的那个类别
            pred.append(np.argmax(probs))
        return pred

最重要的部分，便是self._cal_prob(x, y)的编写

    def _cal_prob(self, x, y) -> float:
        """
        计算 log p(x_1|y) + ... + log p(x_n|y) + log p(y)
        注意：这里的 y 为在 self._classes 中的下标
        """
        # log p(y)
        p_y = np.log(self._priors[y])
        # print(p_y)
        # log p(x_1|y) + ... + log p(x_n|y)
        mean = self._mean[y]
        # print("mean are: \n", mean)
        var = self._var[y]
        # print("var: \n", var)
        p_xy = np.log(np.exp(-(x-mean)**2 / (2*var)) / np.sqrt(2*np.pi*var))
        # p_xy 的计算结果可能会出现 nan，我们将它取值改为0，让他不对输出造成影响
        p_xy[np.isnan(p_xy)] = 0
        return p_y + np.sum(p_xy)

模型评估

我们通过计算我们的模型预测的准确性来评估我们的模型，代码如下：

def accuracy(y_pred, y_true):
    return np.sum(y_pred == y_true) / len(y_true)

效果展示

走完整个过程的代码如下，

digits= load_digits()
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(digits.data,
                                                    digits.target,
                                                    test_size=0.3)
bayes = NaiveBayes()
bayes.train(x_train, y_train)
y_pred = bayes.predict(x_test)
print(accuracy(y_pred, y_test))

我运行的输出结果为

0.8962962962962963

我们也可以随机选择部分测试集查看效果，测试代码如下

def show_test_result(nb: NaiveBayes):
    fig = plt.figure(figsize=(6, 6))  # figure size in inches
    fig.subplots_adjust(left=0, right=1, bottom=0, top=1, hspace=0.05, wspace=0.05)
    n = digits.data.shape[0]
    for i in range(64):
        ax = fig.add_subplot(8, 8, i + 1, xticks=[], yticks=[])
        # 随机选择一张图片
        idx = random.randint(0, n-1)
        ax.imshow(digits.images[idx], cmap=plt.cm.binary, interpolation='nearest')
        data = np.asarray(digits.data[idx]).reshape(1, -1)

        # 左下角为预测值
        ax.text(0, 7, str(nb.predict(data)[0]), color="green")
        # 左上角为真实值
        ax.text(0, 1, str(digits.target[idx]), color="red")

    plt.show()

由于我们假设了每个像素点之间为相对独立的，这与实际不符合，故最终也能发现一些错误。

完整测试代码

#!/usr/bin/python3

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
from typing import List, Tuple

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB

import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')


def show_dataset():
    fig = plt.figure(figsize=(6, 6))  # figure size in inches
    fig.subplots_adjust(left=0, right=1, bottom=0, top=1, hspace=0.05, wspace=0.05)

    for i in range(64):
        ax = fig.add_subplot(8, 8, i + 1, xticks=[], yticks=[])
        ax.imshow(digits.images[i], cmap=plt.cm.binary, interpolation='nearest')
        # label the image with the target value
        ax.text(0, 7, str(digits.target[i]))

    plt.show()


class NaiveBayes:
    def train(self, X: np.ndarray, y: np.ndarray):
        """
        训练函数
        :return: 训练集的均值，方差，先验概率
        """
        # 获取数据集大小
        n_samples, n_features = X.shape
        # print(n_features)
        # 获取数据集类别和类别数
        self._classes = np.unique(y)
        n_classes = len(self._classes)
        # print(self._classes)
        # 初始化均值，方差，先验概率
        self._mean = np.zeros((n_classes, n_features), dtype=float)
        self._var = np.zeros((n_classes, n_features), dtype=float)
        self._priors = np.zeros(n_classes, dtype=float)
        # 计算均值，方差，先验概率
        for c in self._classes:
            X_c = X[c == y]
            self._mean[c, :] = X_c.mean(axis=0)
            self._var[c, :] = X_c.var(axis=0)
            self._priors[c] = X_c.shape[0] / float(n_samples)

    def _cal_prob(self, x, y) -> float:
        """
        计算 log p(x_1|y) + ... + log p(x_n|y) + log p(y)
        注意：这里的 y 为在 self._classes 中的下标
        """
        # log p(y)
        p_y = np.log(self._priors[y])
        # print(p_y)
        # log p(x_1|y) + ... + log p(x_n|y)
        mean = self._mean[y]
        # print("mean are: \n", mean)
        var = self._var[y]
        # print("var: \n", var)
        p_xy = np.log(np.exp(-(x-mean)**2 / (2*var)) / np.sqrt(2*np.pi*var))
        p_xy[np.isnan(p_xy)] = 0
        return p_y + np.sum(p_xy)

    def predict(self, X) -> List[int]:
        """
        测试数据
        :return: 预测结果
        """
        pred = []
        for x in X:
            probs = []
            for y in range(len(self._classes)):
                probs.append(self._cal_prob(x, y))
            # 找到概率最大的那个类别
            pred.append(np.argmax(probs))
        return pred


def accuracy(y_pred, y_true):
    return np.sum(y_pred == y_true) / len(y_true)


def show_test_result(nb: NaiveBayes):
    fig = plt.figure(figsize=(6, 6))  # figure size in inches
    fig.subplots_adjust(left=0, right=1, bottom=0, top=1, hspace=0.05, wspace=0.05)
    n = digits.data.shape[0]
    for i in range(64):
        ax = fig.add_subplot(8, 8, i + 1, xticks=[], yticks=[])
        # 随机选择一张图片
        idx = random.randint(0, n-1)
        ax.imshow(digits.images[idx], cmap=plt.cm.binary, interpolation='nearest')
        data = np.asarray(digits.data[idx]).reshape(1, -1)

        # 左下角为预测值
        ax.text(0, 7, str(nb.predict(data)[0]), color="green")
        # 左上角为真实值
        ax.text(0, 1, str(digits.target[idx]), color="red")

    plt.show()


digits = load_digits()
if __name__ == '__main__':
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(digits.data,
                                                        digits.target,
                                                        test_size=0.3)
    bayes = NaiveBayes()
    bayes.train(x_train, y_train)
    y_pred = bayes.predict(x_test)
    print(accuracy(y_pred, y_test))

    show_test_result(bayes)

参考资料

• 《统计学习方法》
• Naive Bayes in Python - Machine Learning From Scratch 05 - Python Tutorial
• Simple visualization and classification of the digits dataset