[人工智能]强化学习交叉熵方法-Cross-Entropy Method

大部分的知识参照于这篇文章cross-entropy method simple intro

Cross Entropy Method(CE method)是一种进化策略算法，它虽然也是基于交叉熵，但并不是我们熟知的监督学习中的交叉熵方法。这个算法的核心是一个参数优化的过程。CE method已经成功应用于不同范围的估计和优化问题，包括缓冲区分配、信号检测、DNA排序、交通控制以及神经网络和强化学习等领域。

cross-entropy方法的基础是重要性采样，有以下公式表示：
$${\mathbb{E}}_{x～px}[H(x)]={\int }_{x}p(x)H(x)dx={\int }_{x}q(x)\frac{p(x)}{q(x)}H(x)dx={\mathbb{E}}_{x～q(x)}[\frac{p(x)}{q(x)}H(x)]$$
在强化学习领域，$H(x)$ 是一些策略设定的奖励函数，$x,p(x)$是所有可能的策略的分布。我们不想通过搜索所有可能的策略来最大化奖励，而是希望找到一种方法 $q(x)$ 来近似 $p(x)H(x)$，反复的迭代以最小化两个概率分布之间的距离。两个概率分布之间的距离有Kullback-Leibler(KL)散度计算：
$$KL(p_1(x)||p_2(x))={\mathbb{E}}_{x～p_1(x)}\log \frac{p_1(x)}{p_2(x)}={\mathbb{E}}_{x～p_1(x)}[\log p_1(x)]?{\mathbb{E}}_{x～p_1(x)}[\log p_2(x)]$$
KL散度中的第一项称为熵，它不依赖于 $p_2(x)$，因此在最小化过程中可以忽略它。第二项叫做交叉熵，这是深度学习中是非常常见的优化目标。结合这两个公式，我们可以得到一个迭代算法，它从 $q_0(x)=p(x)$ 开始，每一步都有所改进。这是 $p(x)H(x)$ 的近似值，有一个更新公式：
$$q_{i+1}(x)={\mathrm{argmin}}_{q_{i+1}(x)}?{\mathbb{E}}_{x～q_i(x)}\frac{p(x)}{q_i(x)}H(x)\log q_{i+1}(x)$$
这是一种通用的交叉熵方法，可以在我们的RL案例中大大简化。首先，我们将 $H(x)$ 替换为一个指示函数，当奖励高于阈值时为1，当奖励低于阈值时为0。我们的策略更新如下所示：
$${\pi }_{i+1}(\alpha |s)={\mathrm{argmin}}_{{\pi }_{i+1}}?{\mathbb{E}}_{\mathrm{z}～p{i}_i(\alpha |\mathrm{s})}[R(\mathrm{z}\ge {\psi }_i)]\log {\pi }_{i+1}(\alpha |\mathrm{s})$$
严格地说，上述公式忽略了规范化项，但在没有规范化项的情况下，它在实践中仍然有效。因此，方法非常明确：我们使用当前策略（从一些随机初始策略开始）对事件进行采样，并最小化最成功的样本负对数可能性。

上述代码的运行结果，在tensorboard查看的效果如下：

loss

reward_bound

reward_mean

训练后的网络用于cartpole的运行结果如下视频所示
cartpole video

相关代码见github：Cross-Entropy Method