[人工智能]脑影像分析|数据分析——单个变量或多个变量与y的皮尔逊相关，同时返回r与p值（python）

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??皮尔逊相关是计算两个变量之间线性相关关系，或者两个向量共线程度的常用指标，应返回衡量相关程度的r值，和相关显著程度的p值。我们熟知的工具包，如pandas，numpy和scipy等，只能计算单个变量x与变量y之间的相关值，或者多个变量两两相关的相关矩阵。当我们想要分别计算多个变量X与y之间的相关关系时，就需要自己手撕代码。如果觉得手撕代码太费头发，或者对代码不怎么精通，那么就往下看吧。笔者废了好大一把头发，基于numpy和scipy撕三个函数方法，帮你快速实现多个变量与y之间的相关关系，并同时返回r和p值。

copyright? 意疏：https://blog.csdn.net/sinat_35907936/article/details/123805702

单个变量与y的皮尔逊相关

??简单描述一下我们常用的求皮尔逊相关方法的使用。如果目标是求两个变量之间相关关系，并且需要返回p值，用scipy。如果是求多个变量两两相关的相关矩阵，用numpy和pandas，具体用什么，取决于输入是DataFrame还是numpy数组。

??假设我们有以下数据，变量x和变量y都具有100个观测值。

import numpy as np

np.random.seed(3)
x= 2 + np.random.random(100)
y = 1 + np.random.random(100)

• scipy.stats.pearsonr(x,y)

??输入x，y，都是一维向量，其返回向量x与向量y的r和p值。对上述模拟数据求相关，如下。

import numpy as np
from scipy.stats import pearsonr

np.random.seed(3)
x= 2 + np.random.randn(100)
y = 1 + np.random.randn(100)
r, p = pearsonr(x, y)

print(r, p)
#-0.25690193664486277 0.009874914626309943

• pandas.DataFrame.corr((method=‘pearson’)

??输入就是DataFrame本身，函数计算表格中任意两列两两之间的相关值（注意一个变量的所有观测值放一列），最后返回一个相关矩阵，不包含p值。注意到该函数不包含y，要求x与y的相关关系，需要把x和y拼接在一起，再调用该方法。对上述模拟数据求相关，如下。

import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(3)
x= 2 + np.random.randn(100)
y = 1 + np.random.randn(100)

# 拼接
xy = np.vstack((x, y)).T
pd_xy = pd.DataFrame(xy)

r_mat = pd_xy.corr()
print(r_mat)
#          0         1
# 0  1.000000 -0.256902
# 1 -0.256902  1.000000

r = np.array(r_mat.iloc[0,1].squeeze())
print(r)
# -0.25690193664486294

• numpy.corrcoef(X, y(option), rowvar=True)

??该方法自由度比较高，输入X可以是向量或矩阵，输入y也可以是向量或者矩阵且不是必要参数，返回一个相关矩阵，不包含p值。当输入只有x时，效果与上述pandas相同（注意一个变量的所有观测值默认放一行，设置rowvar=False，一个变量的所有观测值将放一列），当x与y都存在时，函数会自动拼接x和y，形成xy，再求相关矩阵，相当于省去了pandas里拼接的步骤。对上述模拟数据求相关，如下。

import numpy as np

np.random.seed(3)
x= 2 + np.random.randn(100)
y = 1 + np.random.randn(100)

# 自动拼接
r_mat = np.corrcoef(x,y, rowvar=False)
print(r_mat)
# [[ 1.         -0.25690194]
# [-0.25690194  1.        ]]

r = r_mat[0,1].squeeze()
print(r)

#-0.2569019366448628

copyright? 意疏：https://blog.csdn.net/sinat_35907936/article/details/123805702

多个变量与y的皮尔逊相关

??假设我们有以下数据，X包含10个变量，每个变量1000个观测值，变量y包含1000个观测值。现在需要求X中每一个变量与y的皮尔逊相关，然后分别返回r和p。

import numpy as np

np.random.seed(3)

X = 2 + np.random.randn(1000,10)
y = 1 + np.random.randn(1000)

• 循环单变量法——不推荐

??循环遍历所有的变量，这是最容易想到，最简单，却非常低效的方法。在变量很多的时候，这种方法的效率将远远低于后面两种方法。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@author: CSDN 意疏
"""
import time
import numpy as np
from scipy.stats import pearsonr

def batch_pearsonr(X, y):
    
    X = np.array(X)
    y = np.array(y)
    cols = X.shape[1]

    p_list = []
    r_list = []
    
    for col in range(cols):
        r, p = pearsonr(X[:, col], y)
        p_list.append(p)
        r_list.append(r)
    
    return np.array(r_list), np.array(p_list)

if '__name == __main__':
    
    np.random.seed(3)
    
    X = 2 + np.random.randn(1000,100)
    y = 1 + np.random.randn(1000)
    
    st = time.time()
    r, p = batch_pearsonr(X, y)
    print(time.time()-st)
    print(r)
    print(p)

0.007961273193359375
[-0.0227441   0.00720729  0.01410081  ... -0.028843    0.05403485  0.00350507]
[0.47249521 0.81993201 0.65605162 ... 0.36221919 0.08766555 0.91185276]

• 公式法——推荐

??由皮尔逊相关的公式，推出多个变量与y相关的公式，然后实现。都是矩阵乘法，加上numpy高效率，这种方法效率会远高于上述循环单变量法。
$$r=\frac{\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(x_i?\overline{x})(y_i?\overline{y})}{{\sigma }_{\mathbf{x}}{\sigma }_{\mathbf{y}}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$=\frac{(\mathbf{x}?\overline{x}{)}^T(y?\overline{y})}{N?{\sigma }_{\mathbf{x}}{\sigma }_{\mathbf{y}}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$\mathbf{r}=\frac{(\mathbf{X}?\overline{X}{)}^T(\mathbf{y}?\overline{y})}{N?{\sigma }_{\mathbf{X}}{\sigma }_{\mathbf{y}}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

??求p值参考了scipy源码，通过btdtr函数来实现。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@author: CSDN 意疏
"""

import time
import numpy as np
from scipy.special import btdtr
    
def batch_pearsonr(X, y):
    
    X = np.array(X)
    y = np.array(y)
    N = X.shape[0]
    
    X_center = X - X.mean(axis=0)
    X_std = X.std(axis=0)
    y_center = y - y.mean()
    y_std = y.std()
    
    r = np.dot(y_center.T, X_center)/(N*X_std*y_std)
    r[r>1]=1
    r[r<-1]=-1
    
    ab = N/2 - 1
    p = 2*btdtr(ab, ab, 0.5*(1 - abs(np.float64(r))))
    
    return r, p

if '__name == __main__':
    
    np.random.seed(3)
    
    X = 2 + np.random.randn(1000,100)
    y = 1 + np.random.randn(1000)
    
    st = time.time()
    r, p = batch_pearsonr(X, y)
    print(time.time()-st)
    print(r)
    print(p)

??在只有100个变量的情况下，公式法比循环单变量法效率也要高近一个数量级。

0.000997304916381836
[-0.0227441   0.00720729  0.01410081 ... -0.028843    0.05403485  0.00350507]
[0.47249521 0.81993201 0.65605162 ... 0.36221919 0.08766555 0.91185276]

• 相关矩阵法——在较少变量时推荐

??一个变量与其他所有变量的相关值，是包含在变量间两两相关得到的相关矩阵中的，就像上述基于numpy和pandas的单变量相关。那么只要把X和y拼接起来，形成Xy，就可以通过算相关矩阵的方式，得到y与X中每一个变量的相关值。由于y拼在X后面，所以相关矩阵最后一行就是y与Xy中每个变量的相关值，去掉最后一个自相关值，就可以得到y与X中每一个变量的相关值了。为了代码简洁性，此处用numpy而非pandas。

??numpy本身不返回p值，所以求p值参考了scipy源码，通过btdtr函数来实现。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@author: CSDN 意疏
"""
import time
import numpy as np
from scipy.special import btdtr
    
def batch_pearsonr(X, y):
    
    N = X.shape[0]
    r_mat = np.corrcoef(X,y, rowvar=False)
    r = r_mat[-1,:-1].squeeze()
    ab = N/2 - 1
    p = 2*btdtr(ab, ab, 0.5*(1 - abs(np.float64(r))))
    return r, p

if '__name == __main__':
    
    np.random.seed(3)
    
    X = 2 + np.random.randn(1000,100)
    y = 1 + np.random.randn(1000)
    
    st = time.time()
    r, p = batch_pearsonr(X, y)
    print(time.time()-st)
    print(r)
    print(p)

??从模拟数据结果上看，虽然相关矩阵大量值都是白算的，但是它的效率却比循环单变量法高很多，与公式法相当，但赢在代码量少。不过当变量数目非常多的时候，这种方法效率可能比循环单变量法还低，因为涉及大量的不必要计算。

0.0010364055633544922
[-0.0227441   0.00720729  0.01410081 ... -0.028843 0.05403485  0.00350507]
[0.47249521 0.81993201 0.65605162 ... 0.36221919 0.08766555 0.91185276]

copyright? 意疏：https://blog.csdn.net/sinat_35907936/article/details/123805702

参考

https://blog.csdn.net/sinat_35907936/article/details/115253078?spm=1001.2014.3001.5501
https://github.com/scipy/scipy/blob/v1.8.0/scipy/stats/_stats_py.py#L3900-L4117