[人工智能]机器学习(西瓜书+南瓜书-CH6)支持向量机

1-SVM简介

支持向量机（support vector machines, SVM）：是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器，间隔最大使它有别于感知机；SVM还包括核技巧，这使它成为实质上的非线性分类器。SVM的的学习策略就是间隔最大化，SVM的的学习算法就是求解凸二次规划的最优化算法。
支持向量机就像是一条具有宽度的线带对样本进行分类。

软间隔SVM：允许出错，有惩罚
硬间隔SVM：不许出错，
非线性SVM：非线性问题，使用核函数升维划分

2-SVM算法原理-硬间隔SVM

从几何角度来说：对于线性可分的数据集，支持向量机就是找距离正负样本都是最远的超平面，相比感知机，其解是唯一的，且泛化性能更好。如下图所示。

从模型原理:给定线性可分的数据集X，支持向量机希望求得X关于超平面的几何间隔r达到最大的超平面，然后套上sign函数实现分类。
$$y=sign(W^{T}X+b)=\{\begin{array}{c}1,W^T+b>0\\ ?1,W^T+b<0\end{array}$$
本质与感知机一样，仍然是在求一个超平面。且几何间隔最大的超平面一定就是距离正负样本都是最远的超平面。

1-间隔与支持向量

给定线性可分的训练集D={(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)}，划分超平面可通过如下线性方程来描述：
$$W^T+b=0$$
样本空间任意点到超平面距离：
$$r=|w^T+b|/||w||$$
假设超平面能将训练样本正确分类，则令对(xi,yi）有:

如上所示，距离超平面最近的几个训练样本点使上式的等号成立，它们被称为“支持向量”，两个异类支持向量到超平面的距离之和为：
$$r=2/||w||$$

如上图所示，为使r最大，则w需取最小，所以主问题便是：求r的最大值等价于求下式的最小值，同时加上作为约束条件。

以上公式就是支持向量机(Support Vector Machine，简称SVM) 的基本型，这是一个凸优化问题，故局部极小值就是全局最小值，一般通过拉格朗日方法求解。

2-拉格朗日对偶问题

为了方便求解SVM的主问题，我们将主问题转化为拉格朗日对偶问题。
支持向量机的基本型的对偶问题:


上述过程需满足KKT条件:

若αi=0，则该样本不会在f(x)的求和中出现，也就不会对f(x)有任何影响；
若αi>0，则必有$y_{i}f(x_i)=1$,所对应的样本点位于最大间隔边界上，是一个支持向量。
这显示出支持向量机的一个重要性质：训练完成后，大部分的训练样本都不需要保留，最终模型仅与支持向量有关。

序列最小优化（sequential minimal optimization，SMO）：上述问题是二次规划问题，由于需要二次规划算法来求解，该问题的规模正比于训练样本数（因为向量α的维数等于训练样本数），这会在实际问题中造成很大的开销。所以提出了SMO。

3-软间隔与正则化–软间隔SVM

软间隔soft margin:由于我们实际获取的真实样本往往会存在噪声，使得训练数据不是清晰线性可分的，通过允许支持向量机在一些样本上出错，从而缓解该问题。以达到间隔距离和错误之间找到平衡。

允许出错的条件：
在最大化间隔的时候限制不满足间隔大于等于1的样本的个数使之尽可能的少。引入一个惩罚系数C>0，并对每个样本点(xi,yi)引入一个松弛变量（slack variables）ξ≥0。软间隔下新的目标函数：

$l_{0/1}$是“0/1损失函数”:

替代损失函数：$l_{0/1}$ 非凸、非连续，数学性质不太好,一般选用替代损失函数。
软间隔支持向量机目标函数：

软间隔支持向量机的拉格朗日函数形式：

软间隔支持向量机的对偶问题：

KKT条件

软间隔支持向量机的最终模型仅与支持向量有关，即通过采用hinge 损失函数仍保持了稀疏性。

正则化：可理解为一种"罚函数法"即对不希望得到的结采施以惩罚，从而使得优化过程趋向于希望目标。

$\Omega (f)$称为“结构风险”，用于描述模型f的某些性质；
第二项${\sum }_{i=1}^{m}l(f(x_i),y_i)$称为“经验风险”，用于描述模型与训练数据的契合程度；
C用于对二者折中。
从另一个角度看，上式也可以称为在“正则化”问题，$\Omega (f)$称为正则化项，C称为正则化常数。
正则化项：
$L_0$范数$||w|{|}_2和L_1$范数$||w|{|}_1$倾向于$w$的分量尽量稀疏，即非零分量个数尽量少
$L_2$范数$||w|{|}_2$倾向于w的分量取值尽量均衡，即非零分量个数尽量稠密。

4-核技巧-非线性SVM

核函数：当原始空间出现线性不可分的情况时，将样本从原始空间映射到一个高维的特征空间，使得样本在这个空间内线性可分，升维。如下图所示。

特征空间中划分超平面所对应的模型可表示为：

直接计算比较困难，直接定义$k(?,?)$.

即$x_i$和$x_j$在特征空间的内积等于它们在原始样本空间中通过函数$k(?,?)$计算的结果。函数$k(?,?)$就是核函数。

核函数定理:
令X为输入空间，$k(?,?)$是定义在$X\times X$上的对称矩阵，则k是核函数当且仅当对于任意数据 D = { x 1 , x 2 , ? ? , x m } D=\left \{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m} \right \} D={x1?,x2?,?,xm?},核矩阵K总是半正定的：

几种常见的核函数：常使用高斯核函数，可以用来表示无穷项。

5-支持向量回归

支持向量回归(Support Vector Regression,SVR):
相比于线性回归用一条线来拟合训练样本，SVR采用$f(x)=W^T+b$为中心，宽度为$2\epsilon$的间隔带，来拟合训练样本。

1. 落在带子上的样本<==>线性回归在线上的预测误差为0
2. 不在带子上样本的距离为损失<==>LR 均方误差
3. 最小化损失迫使带子从最密集穿过，达到拟合训练的目的。

SVR基本形式：


C为正则化常数，$l_{\epsilon }$为$\epsilon ?$不敏感损失函数.

SVR目标函数:
其中${\xi }_i,{\xi }_j$是松弛变量

SVR的拉格朗日函数形式:

SVR对偶问题：

KKT条件：

6-后续

后续将使用python代码实现SVM，并使用SVM做一些简单的分类任务。