[人工智能]有限新息率FRI信号模型

一、有限新息率（FRI）简介

有限新息率（Finite rate of innovation, FRI）采样理论是一种欠采样方案，所谓的欠采样就是指采样频率低于奈奎斯特采样频率，欠采样的方案有很多种，FRI属于其中的一种，它针对的信号是参数化信号，这一类信号可以用有限个参数去描述。有限新息率采样可以分为如下几个重要部分：

1. 信号模型
2. 采样结构及采样核
3. 重构算法
   对这三部分内容进行理解后便可以完全理解FRI采样。在对着几部分内容进行介绍之前，我们需要理解什么是模数转换，什么是奈奎斯特采样，什么是稀疏采样/欠采样，为什么要研究它。

1.1 什么是模数转换？

模数转化就是将模拟信号转变为数字信号，这个世界虽然是模拟的（例如空气温度、山峰的海拔、歌唱时音量的大小），但是我们的计算机系统和通信系统进行处理的时候只能处理数字信号。因此需要进行模数转换。数字信号就是用0101…来表示的信号，常见的二进制就是用有限个数字信号对模型信号进行编码，因为位数是有限位，因此表示的精度也是有限的。

1.2 什么是奈奎斯特采样频率？

它是指，采样频率必须大于或等于信号的最高频率分量的两倍，才能够无失真的恢复原始信号。
$$f_s\ge 2f_{max}$$
该定理也被称位香农-采样定理，香农是通信领域的奠基者。该定理的具体的证明过程可以在任何一本数字信号处理的教程上找到。

1.3 什么是欠采样？

我先来回答为什么需要欠采样。常规的采样系统符合奈奎斯特采样定理，在信号频率较低的时候是没有问题的，但是当信号的频率变得很高（例如几十GHz）的时候，相应的就要求我们的AD工作频率也很高，但是受物理器件的制作工艺，目前的AD的工作的频率不可能无限的高；其次，过高的采样率会给后端的存储及传输带来巨大的压力；除此之外，有些信号具有一些明显的特征，例如多频点或多频带，它的这些特征如果被合理的利用的话，可能会降低采样频率，使得我们的采样系统更加的“高效”。基于此，人们需要研究欠采样理论，以降低采样频率。

二、FRI信号模型

2.1 自由度

在理解FRI信号之前，我们需要知道什么是信号的自由度。自由度（Degree of Freedom，DF）”的概念：系统的自由度是指系统中独立变化的参数的数量。例如火车车厢沿铁轨的运动，只需从某一起点站沿铁轨量出路程，就可完全确定车厢所在的位置，即其位置用一个量就可确定，我们说火车车厢的运动有一个自由度；汽车能在地面上到处运动，自由程度比火车大些，需要用两个量（例如直角坐标x,y）才能确定其位置，我们说汽车的运动有两个自由度；飞机能在空中完全自由地运动，需要用三个量（例如直角坐标x,y,z）才能确定其位置，我们说飞机在空中的运动有三个自由度。
对于机械臂来说，它每个轴都可以认为是一个自由度。轴越多，自由度越大，它的灵活度也越高。

2.2 新息率

新息率（Rate of innovation，RI）是FRI采样理论中独有的概念，这里的新即体现于此。新息率是指信号在单位时间内自由度的个数。如果将信号在时域区间$[a,b]$内的自由度数记为$C_x（a,b）$，那么新息率：
$$\rho =\underset{\tau \to \infty }{\lim }\frac{1}{\tau }{C}_x(?\frac{\tau }{2},\frac{\tau }{2})$$
对于有限时间长度的信号，假设信号时长为$T$，则它的新息率：
$$\rho =\frac{C_x(0,T)}{T}$$
对于无限长信号，要分为周期信号和非周期信号，对于周期信号而言，假设它的周期为$P$，则它的新息率为：
$$\rho =\frac{C_x(0,P)}{P}$$
对于非周期信号，它的新息率分为局部新息率和最大局部新息率。
局部新息率的定义：给定宽度为$h$时间窗，该信号在$t$时刻的局部新息率为：
$${\rho }_h(t)=\frac{C_x(t?\frac{h}{2},t+\frac{h}{2})}{h}$$
最大局部新息率是指，给定时间窗$h$，找到一个时间刻$t$，它在该时刻的局部信息率大于任何其他时间刻的新息率，即：
$${\rho }_{max}(t)=\underset{t\in R}{\max }{\rho }_h（t）$$
由此可见，当$t\to \infty$，${\rho }_{max}(t)=\rho$，即信号的最大局部新息率与新息率等价。

2.3有限新息率信号模型

高斯脉冲及高斯脉冲流信号