[人工智能]主成分分析R语言实现

主成分分析是一种常见的降维统计方法，它通过适当的变量替换，使得新变量成为原变量的线性组合，并且新变量间彼此独立，从而可从错综复杂的关系中寻求主要成分信息，揭示变量内在关系。本次主要分享的是该方法的R语言实现。

数据集展示

31省份的9项家庭支出指标，部分数据如下

一、计算相关系数矩阵

主成分分析法的前提是需要变量具有相关性，因此，我们需要先查看下各个变量的相关程度。

raw_data<-read.csv("data.csv",header=T)
new_data<-raw_data[,-1]
options(digits=2)  
cor(new_data)

纵观整个相关系数矩阵，各个变量之间均存在一定的相关性,可进行后续的主成分分析

二、确定主成分个数

一般地，在计算相关系数矩阵后，通过求出其特征值与特征向量，进而计算方差贡献率与累计方差贡献率，这两步操作均可以由R中的princomp函数一步实现。

确定主成分准则：特征值大于1或累计方差贡献率大于80%（这个值具体需要根据主成分的个数与保留信息综合考虑确定）

PCA=princomp(new_data,cor=T)
summary(PCA)
screeplot(PCA,type="lines")

左侧为各主成分的标准差、方差贡献率、累计方差贡献率；右侧为碎石图，其为一种确定主成分的可视化图，将特征值从大到小排列，选择一个拐点对应的序号，此序号后的特征值全部较小且彼此相差不大，则该序号则可定位主成分的个数。（注意：各个主成分的方差与它对应的特征值是相等的！）

按照确定准则，左侧显示两个主成分即包含了原变量的84%的信息，而右侧的碎石图也显示出自第二个主成分后，其余主成分的特征值彼此差异不大。因此，最终确定为2个主成分。

三、主成分载荷分析

PCA$loadings[,1:2] #选择前两个主成分即可

从载荷矩阵来看，主成分Comp.1在设备、交通、教育、居住、杂项上载荷值较大，可视为非必须消费主成分；主成分Comp.2在食品、衣着、医疗上载荷值很大，可视为反映日常必须消费的主成分。

四、主成分得分

（一）计算综合得分
综合得分=各主成分的得分*各主成分方差/各主成分的方差和，在本次案例中，可将最终得分PC写为
$$PC=(2.388^2?Comp.1+1.1014^2?Comp.2)/(2.388^2+1.1014^2)$$
其中，Comp.1为主成分1的得分，Comp.2为主成分2的得分。现通过自编函数，进行综合得分的求解。

#m为主成分个数
caculate_score<-function(PCA,m){
  comp_sd<-summary(PCA)$sdev[1:m] #各主成分标准差
  comp_score_matrix<-PCA$scores[,1:m] #各主成分得分矩阵
  comp_score<-data.frame(comp_score_matrix)
  
  #计算综合得分
  comp_score$PC<-as.numeric(comp_score_matrix%*%comp_sd^2/sum(comp_sd^2))
  
  #计算排名
  comp_score$rank<-rank(-comp_score$PC)
  return(comp_score)
}
score<-caculate_score(PCA,2)
rownames(score)<-raw_data[,1]
head(score)

（二）主成分得分图分析

plot(score$Comp.1,score$Comp.2,
     xlab='Comp.1',ylab='Comp.2',main='主成分得分图')
abline(h=0,lty=3);abline(v=0,lty=3)
text(score$Comp.1,score$Comp.2,rownames(score))

从得分图可知，在非必需消费主成分上comp.1得分最高的五个地区为上海、北京、广东、浙江、天津，且上海、北京的绝对值明显高于其他地区，表明在以设备、交通、教育、居住、杂项为主的非日常必需消费而言，上海、北京的消费水平远远高于其他省份。

在日常必需消费comp.2得分上，最高的五个地区为广东、海南、福建、广西、上海，可见这部分地区对于食品、衣着、医疗方面的消费较大。

全部代码

raw_data<-read.csv("data.csv",header=T)
new_data<-raw_data[,-1]
options(digits=2)  
cor(new_data)

PCA=princomp(new_data,cor=T)
summary(PCA)
screeplot(PCA,type="lines")  

#计算综合得分
caculate_score<-function(PCA,m){
  comp_sd<-summary(PCA)$sdev[1:m] #各主成分标准差
  comp_score_matrix<-PCA$scores[,1:m] #各主成分得分矩阵
  comp_score<-data.frame(comp_score_matrix)
  
  #计算综合得分
  comp_score$PC<-as.numeric(comp_score_matrix%*%comp_sd^2/sum(comp_sd^2))
  
  #计算排名
  comp_score$rank<-rank(-comp_score$PC)
  return(comp_score)
}
score<-caculate_score(PCA,2)
rownames(score)<-raw_data[,1]
head(score)

#绘制得分图
plot(score$Comp.1,score$Comp.2,
     xlab='Comp.1',ylab='Comp.2',main='主成分得分图')
abline(h=0,lty=3);abline(v=0,lty=3)
text(score$Comp.1,score$Comp.2,rownames(score))

以上就是本次分享的全部内容~

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