1.机器人地图的分类

地图有很多种表示方式，例如，用经纬度标识地方的世界地图，城市的地铁图，校园指引图。

第一种我们称为尺度地图（Metric Map），每一个地点都可以用坐标来表示，比如北京在东经116°23′17’‘，北纬39°54′27’'；第二种我们称为拓扑地图（Topological Map），每一个地点用一个点来表示，用边来连接相邻的点，即图论中的图（Graph），比如从地铁路线图中我们知道地铁红磡站与旺角东站和尖东站相连；第三种我们称为语义地图（Semantic Map），其中每一个地点和道路都会用标签的集合来表示，例如，有人问我中山大学教学楼E栋在哪里，我会说在图书馆正门右手边靠近图书馆的一侧。

在机器人领域，尺度地图常用于定位于地图构建（Mapping）、定位（Localization）和同时定位与地图构建（Simultaneous Localization And Mapping，SLAM），拓扑地图常用于路径规划（Path Planning），而语义地图常用于人机交互（Human Robot Interaction）。

这节课我们将介绍如何用机器人传感器数据绘制尺度地图。这有什么难点呢？首先也是最重要的一点，传感器数据有噪音。用激光传感器检测前方障碍物距离机器人多远，不可能检测到一个准确的数值。如果准确值是 $\sqrt 2$ 米，有时会测出1.42米，有时甚至1.35米。另外，传感器数据是本地坐标系的，而机器人要构建的是一个全局的地图。最后，机器人会运动，运动也是有噪音的。总结起来就两个字，噪音。通俗点来讲，“不准”。

2.占据栅格地图

我们首先来介绍机器人Mapping用到的的传感器，它叫做激光传感器（Laser Sensor），如下图所示：

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激光传感器会向固定的方向发射激光束，发射出的激光遇到障碍物会被反射，这样就能得到激光从发射到收到的时间差，乘以速度除以二就得到了传感器到该方向上最近障碍物的距离。
这样看来，似乎利用激光传感器，机器人能够很好地完成Mapping这一任务。但是我们前面提到了，传感器数据是有噪音的。例如，假如我们在此时检测到距离障碍物4米，下一时刻检测到距离障碍物4.1米，我们是不是应该把4米和4.1米的地方都标记为障碍物？又或者怎么办呢？

为了解决这一问题，我们引入占据栅格地图（Occupancy Grid Map）的概念。

我们首先来解释这里的占据率 (Occupancy) 指的是什么。在通常的尺度地图中，对于一个点，它要么有 (Occupied状态，下面用1来表示) 障碍物，要么没有 (Free状态，下面用0来表示) 障碍物 (旁白：那么问题来了，薛定谔状态呢? )。在占据栅格地图中，对于一个点，我们用 $p (s = 1)$ 来表示它是Free状态的概率，用 $p (s = 0)$ 来表示它是Occupied状态的概率，当然两者的和为 1 。两个值太多了，我们引入两者的比值来作为点的状态: $\operatorname{Odd}(s)=\frac{p(s=1)}{p(s=0)}$ 。
对于一个点，新来了一个测量值 (Measurement， $\sim\{0,1\}$ ) 之后我们需要更新它的状态。假设测量值来之前，该点的状态为 $\operatorname{Odd}(s)$ ，我们要更新它为： $\operatorname{Odd}(s \mid z)=\frac{p(s=1 \mid z)}{p(s=0 \mid z)}$ 。这种表达方式类似于条件概率，表示在 $z$ 发生的条件下 $s$ 的状态。
根据贝叶斯公式，我们有:
$\begin{aligned} &p(s=1 \mid z)=\frac{p(z \mid s=1) p(s=1)}{p(z)} \\ &p(s=0 \mid z)=\frac{p(z \mid s=0) p(s=0)}{p(z)} \end{aligned}$
带入之后，我们得
$\begin{aligned} O d d(s \mid z) &=\frac{p(s=1 \mid z)}{p(s=0 \mid z)} \\ &=\frac{p(z \mid s=1) p(s=1) / p(z)}{p(z \mid s=0) p(s=0) / p(z)} \\ &=\frac{p(z \mid s=1)}{p(z \mid s=0)} O d d(s) \end{aligned}$

我们对两边取对数得:
$\log O d d(s \mid z)=\log \frac{p(z \mid s=1)}{p(z \mid s=0)}+\log O d d(s)$
这样，含有测量值的项就只剩下了 $\log \frac{p(z \mid s=1)}{p(z \mid s=0)}$ 。我们称这个比值为测量值的模型(Measurement Model)，标记为 lomeas 。测量值的模型只有两种:
$lo_{free} =\log \frac{p(z=0 \mid s=1)}{p(z=0 \mid s=0)}$ 和 $lo_{occu} =\log \frac{p(z=1 \mid s=1)}{p(z=1 \mid s=0)}$ ，而且都是定值。
这样，如果我们用 $\log O d d(s)$ 来表示位置 $s$ 的状态 $S$ 的话，我们的更新规则就进一步简化成了: $S^{+}=S^{-}+lomeas$ 。其中 $S^{+}$ 和 $S^{-}$ 分别表示测量值之后和之前 $s$ 的状态。
另外，在没有任何测量值的初始状态下，一个点的初始状态
$S_{i n i t}=\log O d d(s)=\log \frac{p(s=1)}{p(s=0)}=\log \frac{0.5}{0.5}=0 \text { 。 }$
经过这样的建模，更新一个点的状态就只需要做简单的加减法了。这，就是数学的魅力。
例如，假设我们设定 $lo_{occu}=0.9$ ， $lo_{free}=-0.7$ 。那么，一个点状态的数值越大，就表示越肯定它是Occupied状态，相反数值越小，就表示越肯定它是Free状态。

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上图就展示了用两个激光传感器的数据更新地图的过程。在结果中，一个点颜色越深表示越肯定它是Free的，颜色越浅表示越肯定它是Occupied的。

3.TSDF（Truncated Signed Distance Function）

TSDF（Truncated Signed Distance Function）是实时3D重建经典算法，简单可并行，极大推动了实时三维重建的发展。TSDF是SDF的改进，讲取值限制在[-1,1]之间，同时仅在物体表面的限定的距离范围内进行计算，降低了计算量。

TSDF思路很朴素，用一个大的空间包围盒(volume)去包括进去待3D构建的场景，volume成多个voxel(小立体方块)：

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如何计算tsdf？假设已经从深度相机获得多帧RGBD图像以及相机的位姿T。

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左图中灰色小方格表示体素voxel，蓝色三角性表示视场，绿色线为截面对应的线。
第一步：计算体素 $x$ 在世界坐标系下的坐标。记体素 $x$ 在TSDF地图上得坐标为 $\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)$ -则该体素在世界坐标系下的位置为:
$P_{x, \text { world }}=\left(x_{0}+v_{x} \cdot \text { Voxel. } x, y_{0}+v_{y} \cdot \text { Voxel. } y, z_{0}+v_{z} \cdot \text { Voxel. } z\right)$
第二步：计算体素在相机坐标系下的坐标。相机的旋转为 $R$ 平移为 $T$ ，则 $P_{x, c a m e r a}=R P_{x, w o r l d}+T$ ；
第三步：根据相机内参 $K$ 计算体素在相机坐标系下 $z$ 向深度 $\operatorname{cam}_{z}(x)$ :
第四步：重投影计算沿光心经过体素 $x$ 到达物体表面 $p$ 点对应的 $z$ 向深度：因为RGBD的信息已经知道，所以根据 $P_{x, c a m e r a}$ 可以直接查到 $p$ 的深度值 $\operatorname{depth}(\operatorname{pic}(x))$ ；
第五步：得到sdf: $f_{i}(x)=\operatorname{depth}_{i}(p i c(x))-\operatorname{cam}_{z}(x)$
第六步：截断： $f_{i}(x)=\max \left(-1, \min \left(1, \frac{s d f_{i}(x)}{t}\right)\right)$ 即将sdf截断在 $[-\mathrm{t}, \mathrm{t}]$ 内，sdf超过这个范围的voxel点不用计算，直接得1或者-1。

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第七步：将当前帧得到的值合并到已有的volume。通过将多帧合并成一个TSDF，既可以提升精度又可以补全单帧缺失的信息。
$\begin{aligned} &\operatorname{TSDFi}(x)=\frac{W_{i-1}(x) T S D F_{i-1}(x)+w_{i}(x) t s d f_{i}(x)}{W_{i-1}(x)+w_{i}(x)} \\ &W_{i}(x)=W_{i-1}(x)+w_{i}(x) \end{aligned}$
对于需要更新的voxel $w_{i}(x)=1$ ，没在当前视场内的点为 0 。
最后: 重复遍历所有帧，得到合并后的TSDF。