1.内积（点积）
内积，又叫做点积，数量积或标量积。假设存在两个向量
a
=
[
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
]
a=[a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}]
a=[a1?,a2?,...,an?]和
b
=
[
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
n
]
b=[b_{1},b_{2},...,b_{n}]
b=[b1?,b2?,...,bn?]，内积的计算方法为：
a
?
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
?
+
a
n
b
n
a\cdot b= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}
a?b=a1?b1?+a2?b2?+?+an?bn?
2.核方法 1
核方法的主要思想是基于这样一个假设：“在低维空间中不能线性分割的点集，通过转化为高维空间中的点集时，很有可能变为线性可分的” ，例如有两类数据，一类为
x
<
a
∪
x
>
b
x<a\cup x>b
x<a∪x>b；另一部分为
a
<
x
<
b
a<x<b
a<x<b。要想在一维空间上线性分开是不可能的。然而我们可以通过F(x)=(x-a)(x-b)把一维空间上的点转化到二维空间上，这样就可以划分两类数据
F
(
x
)
>
0
F(x)>0
F(x)>0，
F
(
x
)
<
0
F(x)<0
F(x)<0；从而实现线性分割。如下图所示：
定义一个核函数
K
(
x
1
,
x
2
)
=
?
?
(
x
1
)
,
?
(
x
2
)
?
K(x_{1},x_{2})=\left \langle \phi (x_{1}),\phi (x_{2})\right \rangle
K(x1?,x2?)=??(x1?),?(x2?)?, 其中
x
1
x_{1}
x1?和
x
2
x_{2}
x2?是低维度空间中的点（在这里可以是标量，也可以是向量），
?
(
x
i
)
\phi (x_{i})
?(xi?)是低维度空间的点转化为高维度空间中的点的表示，
?
,
?
\left \langle ,\right \rangle
?,?表示向量的内积。这里核函数的表达方式一般都不会显式地写为内积的形式，即我们不关心高维度空间的形式。
这里有个很重要的问题，就是我们为什么要关心内积。一般的我们可以把分类或回归问题分为两类：参数学习和基于实例的学习。参数学习就是通过一堆训练数据把模型的参数学习出来，训练完成之后训练数据就没有用了，新数据使用已经训练好的模型进行预测，例如人工神经网络。而基于实例的学习（又叫基于内存的学习)是在预测的时候会使用训练数据，例如KNN算法，会计算新样本与训练样本的相似度。计算相似度一般通过向量的内积来表示。从这里可以看出，核方法不是万能的，它一般只针对基于实例的学习。
3.核方法的定义和例子2
给定一个映射关系
?
\phi
?，我们定义相应的核函数为:
K
(
x
,
y
)
=
?
(
x
)
T
?
(
y
)
K(x,y)=\phi (x)^{T}\phi (y)
K(x,y)=?(x)T?(y)
则内积运算
<
?
(
x
)
,
?
(
y
)
>
<\phi (x), \phi (y)>
<?(x),?(y)>可以用核
K
(
x
,
y
)
K(x,y)
K(x,y)来表示。
例如，给定两个
n
n
n维向量
x
x
x和
y
y
y，
x
,
y
∈
R
n
x,y\in \mathbb{R}^{n}
x,y∈Rn，我们定义一个核函数
K
(
x
,
y
)
=
(
x
T
y
)
2
K(x,y)=(x^{T}y)^{2}
K(x,y)=(xTy)2，将该二次多项式展开会得到如下表达式：
(
x
1
y
1
+
.
.
.
+
x
n
y
n
)
2
(x_{1}y_{1}+...+x_{n}y_{n})^{2}
(x1?y1?+...+xn?yn?)2。
但
K
(
x
,
y
)
K(x,y)
K(x,y)还可以写成：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? K(x,y)&=(x^{T}…
如果
n
n
n为2的话，即
x
T
=
(
x
1
,
x
2
)
x^{T}=(x_{1},x_{2})
xT=(x1?,x2?)，
y
T
=
(
y
1
,
y
2
)
y^{T}=(y_{1},y_{2})
yT=(y1?,y2?)。若直接对
(
x
T
y
)
2
(x^{T}y)^{2}
(xTy)2进行计算
(
x
T
y
)
2
=
(
x
1
y
1
+
x
2
y
2
)
2
=
(
x
1
y
1
)
2
+
2
x
1
y
1
x
2
y
2
+
(
x
2
y
2
)
2
(x^{T}y)^{2}=(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{1})^{2}+2x_{1}y_{1}x_{2}y_{2}+(x_{2}y_{2})^{2}
(xTy)2=(x1?y1?+x2?y2?)2=(x1?y1?)2+2x1?y1?x2?y2?+(x2?y2?)2
如果我们先对
x
x
x和
y
y
y进行映射，
?
(
x
)
\phi(x)
?(x)可以将
x
x
x映射为：
?
(
x
)
=
[
x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
1
x
2
x
2
]
\phi (x)=\begin{bmatrix} x_{1}x_{1}\\ x_{1}x_{2}\\ x_{2}x_{1}\\ x_{2}x_{2}\\ \end{bmatrix}
?(x)=?????x1?x1?x1?x2?x2?x1?x2?x2???????
?
(
y
)
\phi(y)
?(y)可以将
y
y
y映射为：
?
(
y
)
=
[
y
1
y
1
y
1
y
2
y
2
y
1
y
2
y
2
]
\phi (y)=\begin{bmatrix} y_{1}y_{1}\\ y_{1}y_{2}\\ y_{2}y_{1}\\ y_{2}y_{2}\\ \end{bmatrix}
?(y)=?????y1?y1?y1?y2?y2?y1?y2?y2???????
然后再对
?
(
x
)
\phi (x)
?(x)和
?
(
y
)
\phi (y)
?(y)进行内积运算：
<
?
(
x
)
,
?
(
y
)
>
=
(
x
1
y
1
)
2
+
2
x
1
x
2
y
1
y
2
+
(
x
2
y
2
)
2
<\phi (x), \phi (y)>=(x_{1}y_{1})^{2}+2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+(x_{2}y_{2})^{2}
<?(x),?(y)>=(x1?y1?)2+2x1?x2?y1?y2?+(x2?y2?)2
我们发现结果和直接展开运算一样，但是直接展开经过了一次平方运算，复杂度为
O
(
n
2
)
O(n^{2})
O(n2)，而经过映射之后只需一次内积运算，复杂度为
O
(
n
)
O(n)
O(n)，大大提高了效率。
再比如，对于核函数：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? K(x,y)&=(x^{T}…
同上，若
x
x
x和
y
y
y均为二维向量，则映射函数为:
?
=
[
x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
1
x
2
x
2
2
c
x
1
2
c
x
2
]
\phi =\begin{bmatrix} x_{1}x_{1}\\ x_{1}x_{2}\\ x_{2}x_{1}\\ x_{2}x_{2}\\ \sqrt{2c}x_{1}\\ \sqrt{2c}x_{2}\\ \end{bmatrix}
?=?????????x1?x1?x1?x2?x2?x1?x2?x2?2c?x1?2c?x2???????????
从多项式可以看到，参数
c
c
c控制着一阶和二阶多项式的权重。如果将二阶多项式推广到
d
d
d阶，则核函数
K
(
x
,
y
)
=
(
x
T
y
+
c
)
d
K(x,y)=(x^{T}y+c)^{d}
K(x,y)=(xTy+c)d会将原来的向量映射到
(
n
+
d
d
)
\begin{pmatrix} n+d\\ d\\\end{pmatrix}
(n+dd?)维，尽管在该空间中的复杂度为
O
(
n
d
)
O(n^{d})
O(nd)，但经过$\phi
映
射
后
计
算
复
杂
度
为
映射后计算复杂度为
映射后计算复杂度为O(n)$。
4. 常见的核方法
常见的三种核方法：
线性核(Linear kernel)：
K
(
x
,
y
)
=
x
T
y
K(x,y)=x^{T}y
K(x,y)=xTy
径向基核(Radial basis function kernel, RBF kernel)：
K
(
x
,
y
)
=
e
x
p
(
?
γ
∥
x
?
y
∥
2
)
K(x,y)=exp(-\gamma \left \| x-y\right \|^{2})
K(x,y)=exp(?γ∥x?y∥2)
d
d
d次多项式核(Polynomial kernel)：
K
(
x
,
y
)
=
(
x
T
y
+
c
)
d
K(x,y)=(x^{T}y+c)^{d}
K(x,y)=(xTy+c)d
下面我们依次使用这些核函数对非线性问题进行分类，如下图所示，有两个待分类标签，显然他们在二维空间是线性不可分的，我们需要使用核函数把它们映射到更高维空间中，让它们线性可分。
4.1 线性核
核函数：
K
(
x
,
y
)
=
x
T
y
K(x,y)=x^{T}y
K(x,y)=xTy
令
x
=
(
x
1
,
x
2
)
T
x=(x_{1},x_{2})^{T}
x=(x1?,x2?)T，
y
=
(
y
1
,
y
2
)
T
y=(y_{1},y_{2})^{T}
y=(y1?,y2?)T，即维度为2，我们得到：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? K(\begin{pmatr…
可以看到线性核的映射
?
(
x
)
\phi (x)
?(x)就是
x
x
x本身。
代码：
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits import mplot3d
from IPython.display import HTML, Image
%matplotlib inline
sns.set()
from sklearn.datasets import make_circles
def feature_map_1(X):
return np.asarray((X[:,0], X[:,1], X[:,0]*X[:,1])).T
X, y = make_circles(100, factor=.1, noise=.1)
Z = feature_map_1(X)
#2D scatter plot
fig = plt.figure(figsize = (16,8))
ax = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c = y, cmap = 'viridis')
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('Original dataset')
#3D scatter plot
ax = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection='3d')
ax.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1], Z[:,2],c = y, cmap = 'viridis' ) #,rstride = 5, cstride = 5, cmap = 'jet', alpha = .4, edgecolor = 'none' )
ax.set_xlabel('$z_1$')
ax.set_ylabel('$z_2$')
ax.set_zlabel('$z_3$')
ax.set_title('Transformed dataset')
我们将线性核函数映射后的数据可视化，得到的结果如图3所示，但从结果发现，线性映射之后的数据点仍然不是线性可分的。
4.2 多项式核
二维二阶多项式核函数：
因此， ? ( ( x 1 x 2 ) ) = ( 2 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 ) \phi (\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} \sqrt{2}x_{1}x_{2}\\ x_{1}^{2}\\ x_{2}^{2}\\ \end{pmatrix} ?((x1?x2??))=???2?x1?x2?x12?x22?????
画出经二阶多项式映射后的数据分布：
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits import mplot3d
from IPython.display import HTML, Image
#%matplotlib inline
sns.set()
from sklearn.datasets import make_circles
def feature_map_0(X):
return np.asarray((X[:,0]**2, X[:,1]**2, np.sqrt(2)*X[:,0]*X[:,1])).T
X, y = make_circles(100, factor=.1, noise=.1)
Z = feature_map_0(X)
#2D scatter plot
fig = plt.figure(figsize = (16,8))
ax = fig.add_subplot(1, 2, 1)
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c = y, cmap = 'viridis')
ax.set_xlabel('$x_1$')
ax.set_ylabel('$x_2$')
ax.set_title('Original dataset')
#3D scatter plot
ax = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection='3d')
ax.scatter3D(Z[:,0],Z[:,1], Z[:,2],c = y, cmap = 'viridis' ) #,rstride = 5, cstride = 5, cmap = 'jet', alpha = .4, edgecolor = 'none' )
ax.set_xlabel('$z_1$')
ax.set_ylabel('$z_2$')
ax.set_zlabel('$z_3$')
ax.set_title('Transformed dataset')
本文原载于我的简书。
参考
