1 随机变量的概念
若此产品的不合格率为
p
p
p,则
X
X
X取各种值的概率可列表如下:
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|
p |
(
1
?
p
)
3
(1-p)^3
(1?p)3 |
3
p
(
1
?
p
)
2
3p(1-p)^2
3p(1?p)2 |
3
p
2
(
1
?
p
)
3p^2(1-p)
3p2(1?p) |
p
3
p^3
p3 |
下面给出随机变量的一般定义。
定义2.1.1 定义在样本空间
Ω
\Omega
Ω上的实值函数
X
=
X
(
ω
)
X=X(\omega)
X=X(ω)称为随机变量,常用大写字母
X
,
Y
,
Z
X,Y,Z
X,Y,Z等表示随机变量,其取值用小写字母
x
,
y
,
z
x,y,z
x,y,z等表示。假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值,则称其为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b),则称其为连续随机变量,其中
a
a
a可以是
?
∞
-\infty
?∞,
b
b
b可以是
∞
\infty
∞。
这个定义表明:随机变量
X
X
X是样本点
ω
\omega
ω的一个函数,这个函数可以是不同样本点对应不同的实数,也允许多个样本点对应同一个实数。这个函数的自变量(样本点)可以是数,也可以不是数,但因变量一定是实数。
与微积分中的变量不同,概率论中的随机变量X是一种“随机取值的变量且伴随一个分布”。以离散随机变量为例子,我们不仅要知道X可能取那些值,而且还要知道它取这些值的概率各是多少,这就需要分布的概念,有没有分布是区分一般变量与随机变量的主要标志。
2 随机变量的分布函数
随机变量
X
X
X是样本点
ω
\omega
ω的一个实值函数,若B是某些实数组成的集合,即
B
?
R
B\subset R
B?R,R表示实数集,则
{
X
∈
B
}
\{X\in B\}
{X∈B}表示如下的随机事件:
{
ω
:
X
(
ω
)
∈
B
}
?
Ω
\{\omega:X(\omega)\in B\}\subset \Omega
{ω:X(ω)∈B}?Ω
定义 2.1.2 设X是一个随机变量,对任意实数x,称:
F
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
(
2.1.1
)
F(x)=P(X\le x)\quad\quad(2.1.1)
F(x)=P(X≤x)(2.1.1)
为随机变量X的分布函数。且称X服从
F
(
x
)
F(x)
F(x),记为
X
~
F
(
x
)
X\sim F(x)
X~F(x)。有时也可用
F
x
(
x
)
F_x(x)
Fx?(x)以表明是X的分布函数(把X写成F的下标)。
定理2.1.1 任一分布函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)都具有如下三条基本性质:
待补充 77
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