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   -> 人工智能 -> 2.1 随机变量及其分布 -> 正文阅读

[人工智能]2.1 随机变量及其分布

1 随机变量的概念

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若此产品的不合格率为 p p p,则 X X X取各种值的概率可列表如下:

X0123
p ( 1 ? p ) 3 (1-p)^3 (1?p)3 3 p ( 1 ? p ) 2 3p(1-p)^2 3p(1?p)2 3 p 2 ( 1 ? p ) 3p^2(1-p) 3p2(1?p) p 3 p^3 p3

下面给出随机变量的一般定义。

定义2.1.1 定义在样本空间 Ω \Omega Ω上的实值函数 X = X ( ω ) X=X(\omega) X=X(ω)称为随机变量,常用大写字母 X , Y , Z X,Y,Z X,Y,Z等表示随机变量,其取值用小写字母 x , y , z x,y,z x,y,z等表示。假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值,则称其为离散随机变量。假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间 ( a , b ) (a,b) (a,b),则称其为连续随机变量,其中 a a a可以是 ? ∞ -\infty ? b b b可以是 ∞ \infty

这个定义表明:随机变量 X X X是样本点 ω \omega ω的一个函数,这个函数可以是不同样本点对应不同的实数,也允许多个样本点对应同一个实数。这个函数的自变量(样本点)可以是数,也可以不是数,但因变量一定是实数。

与微积分中的变量不同,概率论中的随机变量X是一种“随机取值的变量且伴随一个分布”。以离散随机变量为例子,我们不仅要知道X可能取那些值,而且还要知道它取这些值的概率各是多少,这就需要分布的概念,有没有分布是区分一般变量与随机变量的主要标志。

2 随机变量的分布函数

随机变量 X X X是样本点 ω \omega ω的一个实值函数,若B是某些实数组成的集合,即 B ? R B\subset R B?R,R表示实数集,则 { X ∈ B } \{X\in B\} {XB}表示如下的随机事件:

{ ω : X ( ω ) ∈ B } ? Ω \{\omega:X(\omega)\in B\}\subset \Omega {ω:X(ω)B}?Ω

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定义 2.1.2 设X是一个随机变量,对任意实数x,称:

F ( x ) = P ( X ≤ x ) ( 2.1.1 ) F(x)=P(X\le x)\quad\quad(2.1.1) F(x)=P(Xx)(2.1.1)

为随机变量X的分布函数。且称X服从 F ( x ) F(x) F(x),记为 X ~ F ( x ) X\sim F(x) XF(x)。有时也可用 F x ( x ) F_x(x) Fx?(x)以表明是X的分布函数(把X写成F的下标)。

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定理2.1.1 任一分布函数 F ( x ) F(x) F(x)都具有如下三条基本性质:

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待补充 77

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