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[人工智能]机器人学（一）：构型空间（C-Space）

????????通常情况下，我们对一个机器人提出的最根本问题是，它在哪？这个问题问的是机器人上每一个点的位置在哪。答案就是机器人构型（configuration）：机器人上所有点的位置的表示方法。因为机器人使用的是刚性且形状已知的连杆，所以只需要少量数字就能表示机器人构型。例如，旋转的门的构型，用一个角度就能表示；平面上一点的构型，用两个坐标(x,y)就能表示；平放在桌面的硬币，用(x,y)表示硬币中心的位置，用θ表示硬币上一点的方向，三个变量就能表示其构型。

????????定义：机器人的构型是机器人上每个点的位置的完整表示。表示机器人构型所需的最小实值坐标数n就是机器人的自由度（dof）。包含机器人所有构型的n维空间就是构型空间（C-space）。机器人的构型由其C-space中的一个点表示。

一、自由度（dof）

????????根据上述定义，自由度就是表示机器人构型所需的最小实值坐标数。也就是说，通过这几个实值坐标数就能完整表示机器人上每一点的位置。要了解C-space首先需要确定机器人的自由度。

1.1?刚体自由度

????????平面刚体，表示在二维平面运动的刚体，有3个自由度。空间刚体，表示在三维空间运动的刚体，显然有6个自由度。

????????首先考察一下平面刚体为什么有3个自由度。以放置在桌面的硬币为例如图1所示，按照自由度的定义，需要找到几个参数能完整表示硬币上所有点的位置。所以首先任意选取硬币上的一个点A，用两个参数 $(x_{A},y_{A})$ 就能完全表示A的位置，所以A点有两个自由度。然后再选一个点B，AB之间的距离为 $d_{AB}$ ， $d_{AB}$ 是已知的，因为考察刚体自由度的前提是刚体形状和尺寸是已知的。所以B位于以A为圆心， $d_{AB}$ 为半径的圆上，要确定B的位置，还需要一个参数 $\phi _{AB}$ 。所以要确定A、B的位置需要3个参数 $(x_{A},y_{A},\phi _{AB})$ 。再选一个点C，已知 $d_{AC},d_{BC}$ ，那么C的位置只有两种可能：以A为圆心 $d_{AC}$ 为半径的圆与以B为圆心 $d_{BC}$ 为半径的圆相交处，有两个相交的位置，一首一尾。也就是说，一旦确定了A、B的位置，选定了首尾，确定了常数 $d_{AC},d_{BC}$ ，那么C点的位置就确定了。所以通过 $(x_{A},y_{A},\phi _{AB})$ 就可以确定C的位置。可以尝试再选一个点D，这个点带来了三个额外约束 $d_{AD},d_{BD},d_{CD}$ ，其中有一个是冗余约束。利用另外两个独立约束，就可以类似确定C的位置一样确定D的位置。刚体上其他的点的位置都可以通过这种方法确定，所以放置在桌面的硬币通过三个参数 $(x_{A},y_{A},\phi _{AB})$ 就可以完全确定硬币上所有点的位置。所以平面刚体自由度为3。

?图1 平面上的硬币

????????这种方法可以总结成：dof=变量个数-约束个数。

????????由以上推导过程可以看出，如果一直三个点的位置，那么可以刚体上其他点的位置也能知道，所以变量个数按照三个点的变量来算。平面刚体上A、B、C的坐标可以表示为 $(x_{A},y_{A}),(x_{B},y_{B}),(x_{C},y_{C})$ ，有6个变量，约束为 $d_{AB},d_{AC},d_{BC}$ ，所以自由度为6-3=3。

????????这种方法也可以用于空间刚体自由度的计算。空间刚体上A、B、C的坐标可以表示为 $(x_{A},y_{A},z_{A}),(x_{B},y_{B}.z_{B}),(x_{C},y_{C},z_{C})$ 有9个变量，约束同样为 $d_{AB},d_{AC},d_{BC}$ ，那么自由度为9-3=6。?

????????所以在空间运动的刚体自由度为6，在平面上运动的刚体自由度为3。

1.2 机器人自由度

?1.2.1 机器人关节

????????典型的机器人关节有六种如图2(a)所示。R表示旋转关节，P表示移动关节，H表示螺旋关节，C表示圆柱关节，U表示万向关节，S表示球形关节。图2(b)总结了各种关节类型提供的自由度和约束。f表示关节自由度个数，c表示关节带来的约束个数。

(a)

(b)

图2 典型的机器人关节

?1.2.2 格鲁布勒公式

????????可以通过格鲁布勒公式计算带有关节和连杆机构的自由度。

????????定义：如果机器人有N个连杆，基座也算一个连杆，J表示关节个数，m表示刚体自由度数（如果是平面机构m=3，空间机构则m=6）， $f_i$ 表示第i个关节的自由度， $c_i$ 表示第i个关节的约束个数，对所有关节i， $f_i+c_i=m$ 。机器人的自由度可以按如下格鲁布勒公式计算：

????????其中， $m(N-1)$ 表示除去基座之外所有刚体（连杆）的自由度， $\sum_{i=1}^{J}c_i$ 表示所有关节带来的约束个数。串联机构、并联结构都可以用这种方法计算自由度。

????????这种方法只能用于所有关节约束都是独立的情况。如果它们不是独立的，那么公式提供了自由度的下限。如图3所示的平行四边形连杆机构就是这种情况。连杆个数（包括基座）N=5，关节个数J=6，对于各关节 $f_i=1$ ，对于平面机器人m=3，按上述公式计算自由度为：3(5-1-6)+6=0，自由度为零表示这是一个纯刚性结构，但实际上该机构可以按一个自由度运动。三个平行连杆中的任何一个及其两个关节对机构的运动没有影响，所以关节约束不是独立的，先去掉一个平行连杆及其两个关节，再计算自由度为：dof=3(4-1-4)+4=1。

图3 平行四边形连杆机构?

????????通过这个公式来计算常用的典型平面串联机构，k关节连杆平面串联机器人如图4所示，N=k+1，k个连杆加基座，J=k， $f_i=1$ ，自由度为dof=3((k+1)-1-k)+k=k，对于空间多连杆串联机器人也可以同样计算自由度：dof=6((k+1)-1-k)+k=k，所以通常所说的k关节机器人也可以叫做k自由度机器人。

?图4 平面串联机器人

二、构型空间

2.1 构型空间拓扑

????????上一节主要讲的是怎么确定构型空间的维数（也就是机器人的自由度），然而构型空间的形状也很重要。例如，同样是二维构型空间，一个点在平面上运动与在球面上运动，它们的构型空间显然是不一样的，平面可以无限延伸但球体是环绕的，它们的不同在于构型空间的形状。

????????构型空间形状的不同通过构型空间拓扑来表示。不严格的讲，如果一个空间可以连续变形为另一个空间，而不需要切割或粘合，那么这两个空间在拓扑上是等价的。例如一个大的球面和小的球面是拓扑等价的，但是它们与平面是不等价的，因为不通过剪切是无法将球面变成平面的。

????????一维圆环空间在数学上表示为 $S$ 或 $S^1$ ，直线表示为 $E$ 或 $E^1$ ，表示一维欧几里得空间，由于 $E^1$ 中的点通常用一个实数表示，所以通常写成 $R$ 或 $R^1$ 。一个封闭的线段通常写成 $[a,b]\in R^1$ ，表示包括端点a和b，封闭的线段与直线拓扑不等价，因为直线不包括端点。而一个开放的线段(a,b)与直线是拓扑等价的，因为开放线段可以缩放成直线。

????????对于更高维度而言， $R^n$ 表示n维欧几里得空间， $S^n$ 表示(n+1)维空间里的n维球面，例如 $S^2$ 表示的是在三维空间的二维球面。

????????需要注意的是，空间拓扑结构是空间的一个基本属性，与如何选择坐标来表示空间中的点无关。

????????一些C-空间可以表示为两个或多个低维空间的笛卡尔积，也就是说，这种C空间中的点可以表示为低维空间中点的并集。例如：

1.平面上的刚体的C-space可以表示成 $R^2\times S^1$ ，因为其构型可以用 $(x,y)\in R^2$ 和 $\theta \in S^1$ 表示。

2.一个PR机器人的C-space可以写成 $R^1\times S^1$ 。通常情况下表示C-space拓扑时会忽略关节角度的限制，如果考虑到关节角度限制，C-空间是两个闭合区间的笛卡尔积。

3.一个2R机器人的C-space可以写成 $S^1\times S^1=T^2$ ，其中 $T^n$ 是(n+1)维空间中的n维环面如图5所示。这里需要注意 $S^1\times S^1\times \cdots \times S^1=T^n$ 而不是 $S^n$ 。例如球面 $S^2$ 与二维环面 $T^2$ 不是等价的。

4.一个带有2R机械臂的平面刚体（比如移动机器人），其C-space可以写成 $R^2\times S^1\times T^2=R^2\times T^3$ 。

5.在上一节中讨论的三维空间刚体自由度时，其构型可以用三维点坐标 $R^3$ 、二维球面 $S^2$ 和一维圆环 $S^1$ 表示，所以其C-space可以写成： $R^3\times S^2\times S^1$ 。

?图5 四种不同二维C-space拓扑

2.2 构型空间表示方法

????????为了方便计算，需要用某种代数方式对构型空间进行表示。需要注意的是构型空间的表示方式可以多种多样，但是拓扑是不变的，拓扑是构型空间的根本性质。例如，3D空间中的同一点可以具有不同的坐标表示，具体取决于参考坐标系的选择（坐标轴的原点和方向）和长度比例的选择，但无论如何选择，基本的空间拓扑结构都是相同的。

????????用n个坐标或参数来表示n维构型空间称为空间的显式参数化。例如，二维球面可以用经度和纬度两个参数进行表示，这就是显示表示法。也可以在三维坐标系里面用(x,y,z)表示，这叫隐式表示法。

????????用经纬度表示球面时，当你处于纬度90°或-90°时（南/北极），移动很小一步，就会导致经纬度坐标系的巨大变化。南/北极就是经纬度表示的球面的奇点。这些奇点的位置与球面本身无关，球面在任何地方看起来都是一样的，而一切都与它所选择的表示方法有关。尽管球面上的一点以匀速运动，但在奇点处经纬度坐标系里面的速度趋于无穷。显然这种表示方法会给实际应用带来困难。有两种方法克服这种困难：

用多个显示参数化的坐标系来表示空间，每个坐标系只覆盖空间的一部分，在这一部分内没有奇点。例如，在球面定义两个经纬坐标系，其中一个纬度 $\phi \in [-90^{\circ },90^{\circ }]$ ，经度 $\varphi \in [-180^{\circ },180^{\circ }]$ ，另一个坐标系相当于旋转了90°，在其中一个坐标系的奇点附近就用另一个坐标系来表示，从而避开奇点。

????????用多个坐标系来表示的优点在于，每个坐标都可以用最少的变量个数来表示。一个缺点是需要额外的空间来记录并在各坐标之间切换表示，以避免奇点。需要注意，欧几里德空间可以由一个没有奇点的单坐标系表示。

隐式表示是将n维空间嵌入n维以上的欧几里德空间，就像二维单位球面可以视为嵌入三维欧几里德空间的曲面一样。隐式表示使用的是高维空间的坐标，但这些坐标会受到约束，从而减少自由度的数量。例如单位球面在三维欧几里德空间用(x,y,z)表示，约束为 $x^2+y^2+z^2=1$ 。

????????这种方法的缺点是需要使用多于空间自由度的变量个数。优点是没有奇点，只需要一个坐标系就能表示整个空间。另一个优点是，为闭链机构构建显式参数化表示可能非常困难，但很容易找到隐式表示。隐式表示的一个例子是表示刚体姿态，刚体姿态只需要roll-pitch-yaw三个参数就能表示，但是这种表示存在奇点。而使用九个参数表示，即用旋转矩阵表示，其中有六个约束，这种表示方法除了无奇点之外，旋转矩阵表示法还可以使用线性代数来执行计算，例如旋转刚体或改变表示刚体姿态的参考坐标系。