上一节课，将向量的概念扩展到了矩阵。
一、矩阵空间
矩阵空间是一个子空间吗？是的，数乘和加法等运算后仍然是一个矩阵。所有 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵 M M M构成了一个类似于 R 3 R^3 R3的空间，那么这个矩阵空间也将会有子空间，比如：
- 对称矩阵 S S S
- 上三角矩阵 U U U
根据定义很容易知道这些矩阵是线性封闭的。
1.1 矩阵的基和维数
一个矩阵是由那些基本的矩阵组成的？
[
1
0
0
0
0
0
0
0
0
]
[
0
1
0
0
0
0
0
0
0
]
[
0
0
1
0
0
0
0
0
0
]
?
[
0
0
0
0
0
0
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\cdots\begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix}
???100?000?000???????000?100?000???????000?000?100????????000?000?001????
上面这些矩阵满足：
- 线性无关。上述任何一个矩阵都能不能用其他矩阵线性表示，是独一无二的；
- 能够扩展至整个矩阵空间。
所以上面的九个矩阵是矩阵 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵 M M M的一组基，维数是9。
对于
3
×
3
3\times3
3×3的矩阵
S
S
S，它的一组基为：
[
1
0
0
0
0
0
0
0
0
]
[
0
1
0
1
0
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
1
0
0
0
0
]
[
0
0
1
0
0
0
1
0
0
]
[
0
0
0
0
0
1
0
1
0
]
[
0
0
0
0
0
0
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\1&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&1&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix}
???100?000?000???????010?100?000???????000?010?000???????001?000?100???????000?001?010???????000?000?001????
一个
3
×
3
3\times3
3×3矩阵
U
U
U的一组基为：
[
1
0
0
0
0
0
0
0
0
]
[
0
1
0
0
0
0
0
0
0
]
[
0
0
1
0
0
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
1
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
0
1
0
0
0
]
[
0
0
0
0
0
0
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{bmatrix}
???100?000?000???????000?100?000???????000?000?100???????000?010?000???????000?000?010???????000?000?001????
3
×
3
3\times3
3×3对角矩阵
D
D
D的一组基为：
[
1
0
0
0
0
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
1
0
0
0
0
]
[
0
0
0
0
0
0
0
1
0
]
\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&0 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&1&0 \end{bmatrix}
???100?000?000???????000?010?000???????000?001?000????
注意到
S
∩
U
=
D
S\cap U=D
S∩U=D，两个子空间的交集为一个对角矩阵
D
D
D，维数
d
i
m
(
S
)
+
d
i
m
(
U
)
=
d
i
m
(
S
∩
U
)
dim(S)+dim(U)=dim(S\cap U)
dim(S)+dim(U)=dim(S∩U)；正如我们在向量中不研究并集（
S
∪
U
S\cup U
S∪U）一样，因为这没有意义，随便选两个向量结果将会超出原来的范围，这不符合子空间的定义；但是我们会定义
S
+
U
S+U
S+U集合，他表示
S
S
S和
U
U
U的线性组合，这个线性组合恰好能够布满整个矩阵空间。注意到一个有趣的结论：
d
i
m
(
S
)
+
d
i
m
(
U
)
=
d
i
m
(
S
∩
U
)
+
d
i
m
(
S
+
U
)
6
+
6
=
3
+
9
\begin{aligned} dim(S)+dim(U)&=dim(S\cap U)+dim(S+U)\\ 6+6&=3+9 \end{aligned}
dim(S)+dim(U)6+6?=dim(S∩U)+dim(S+U)=3+9?
两个子空间的维数和等于交集加上其加集维度的和。
1.2 微分方程
在线性代数中的许多概念在数学领域都是通用的，比如说微分方程：
d
2
y
d
x
2
+
y
=
0
(1)
\frac{d^2y}{dx^2}+y=0\tag{1}
dx2d2y?+y=0(1)
这个微分方程有两个特解：
y
1
=
s
i
n
x
y_1=sinx
y1?=sinx和
y
2
=
c
o
s
x
y_2=cosx
y2?=cosx，所有解都是这两个特解的线性组合：
y
c
o
m
p
l
e
t
e
=
c
1
c
o
s
x
+
c
2
s
i
n
x
(2)
y_{complete}=c_1cosx+c_2sinx\tag{2}
ycomplete?=c1?cosx+c2?sinx(2)
那么这个微分方程的一组基就是
y
1
y_1
y1?和
y
2
y_2
y2?，线性组合系数为零空间，其特解个数等于2，也就是说他们的解空间维数为。其实举这个例子是为了说明子空间、维数、基这些概念应该有更加广泛的理解，比如这里的基就是一组函数，而不是具体的数字。
二、秩1矩阵
2.1 秩1矩阵是其他矩阵的积木
有 2 × 3 2\times 3 2×3矩阵 A A A：
A
=
[
1
4
5
2
8
10
]
A=\begin{bmatrix} 1&4&5\\ 2&8&10 \end{bmatrix}
A=[12?48?510?]
其秩为1。这种秩为1的矩阵容易写成行和列的矩阵乘法：
A
=
[
1
2
]
[
1
4
5
]
A=\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&5 \end{bmatrix}
A=[12?][1?4?5?]
事实上，所有秩为1的矩阵都可以写成：
A
=
u
v
T
A=uv^T
A=uvT
在之后的学习里，我们会知道这种矩阵的特点：
- 行列式简单
- 特征值特点明显（= =完全忘了，学了才知道）
这种秩为1的矩阵就像是积木一样搭建起了所有矩阵，结合一开始矩阵乘法这一节的容易理解。比方说我们有一个 5 × 17 5\times17 5×17的矩阵，秩为4，他就可以用四个秩为1的矩阵表示出来，秩是多少就能用多少秩为1的矩阵搭建。
思考：四个同型的、秩相同的矩阵相加后的矩阵，其秩是否会改变？肯定会，因为你不确定哪个主元被消除了，这也就意味着，这样的（同秩、同型）矩阵集合并不能构成子空间。
三、小世界图
Graph={nodes,edges}
介绍了图的节点和边的概念。
