最近一直在消化、吸收大神的输出，在这里主要把思路捋顺，试着增加自己的理解和扩展。
首先，上链接，还有我的膝盖，拜王峰大神，可以直接看大神的文字！
从最优化的角度看待Softmax损失函数
Softmax理解之Smooth程度控制
一、优化的目标函数
做分类的都知道，softmax交叉熵，是常用的分类损失函数，那么，它是怎么来的呢？
用CNN提取n维特征之后，我们想要拿这个n维特征，去预测，是狗，是猫，还是人？怎么预测呢，总不能直接拿n维特征吧，我们想要只想知道，是狗，是猫，还是人。为了解决这个问题，我们将n维特征经过一个线性变换，让cnn网络输出3分数，论文里面常叫做logit，来告诉我们，是猫多少分，是狗多少分，是人多少分。如果真实类别是狗，那么我们的目标函数希望，狗的分数，要比猫和人的分数都高，可以这么说，输出C个分数，时目标分数比最大的非目标分数更大：
l
o
s
s
=
max
?
(
max
?
i
≠
y
z
i
?
z
y
,
0
)
(1)
loss = \max(\max_{i \neq y}{z_i} - z_y, 0)\tag{1}
loss=max(i?=ymax?zi??zy?,0)(1)
其中，
z
y
z_y
zy?是我们的目标分数，即是狗的分数。当然，这个目标函数之前，还有一些其他的，可自己去看王峰大神的博客。
注意看，公式（1），每次都从非目标中挑出一个最大值参与目标函数，那么，也就是说，每次，最多只有一个正梯度（因为只有一个非目标分数）和一个负梯度（只有一个目标分数），那这优化起来也太慢了吧，于是，max的smooth版本就出来了。
二、目标函数的第一次smooth：LogSumExp
LogSumExp函数如下：
L
S
E
=
l
o
g
∑
i
n
e
x
p
(
x
i
)
LSE = log \sum_{i}^nexp(x_i)
LSE=logi∑n?exp(xi?)
二者的关系是：
L
S
E
>
=
m
a
x
LSE >= max
LSE>=max
至于为啥，这个真的是非常数学的东西了，感兴趣的，可以自行去google，这里再次膜拜一下数学，学好数学，称霸天下！
用上LSE，就会发现，非目标分数的最大值，不管选择了谁，都和其他非目标分数扯上了关系，这样，其他非目标分数的分支，也会有梯度了。
smooth之后的目标函数如下：
l
o
s
s
l
s
e
=
max
?
(
l
o
g
∑
i
=
1
,
i
≠
y
C
e
z
i
?
z
y
,
0
)
loss_{lse} = \max(log \sum_{i=1,i \neq y}^Ce^{z_i} - z_y,0)
losslse?=max(logi=1,i?=y∑C?ezi??zy?,0)
不懂之处：峰神说，使用LogSumExp函数相当于变相地加了一定的m???
三、目标函数的第二次smooth：softmax交叉熵
峰神说了，接着smooth，Relu函数
max
?
(
x
,
0
)
\max(x,0)
max(x,0)也有一个smooth版本，即softplus函数，
l
o
g
(
1
+
e
x
)
log(1+e^x)
log(1+ex)，那么用这个函数，接着smooth
L
s
o
f
t
m
a
x
=
l
o
g
(
1
+
e
l
o
g
(
∑
i
=
1
,
i
≠
y
C
e
z
i
)
?
z
y
)
=
l
o
g
(
1
+
∑
i
=
1
,
i
≠
y
C
e
z
i
e
z
y
)
=
l
o
g
∑
i
=
1
C
e
z
i
e
z
y
=
?
l
o
g
e
z
y
∑
i
=
1
C
e
z
i
\begin{aligned} L_{softmax} & = log(1 + e^{log (\sum_{i=1,i \neq y}^Ce^{z_i}) - z_y}) \\ &=log(1+ \frac{\sum_{i=1,i \neq y}^Ce^{z_i}}{e^{z_y}}) \\ &= log{\frac{\sum_{i=1}^Ce^{z_i}}{e^{z_y}}} \\ &= -log{\frac{e^{z_y}}{\sum_{i=1}^Ce^{z_i}}} \end{aligned}
Lsoftmax??=log(1+elog(∑i=1,i?=yC?ezi?)?zy?)=log(1+ezy?∑i=1,i?=yC?ezi??)=logezy?∑i=1C?ezi??=?log∑i=1C?ezi?ezy???
这个就是我们熟知的softmax交叉熵。
所以我们常用的softmax，其实不是max的smooth版本，max函数输出的是一个最大值，而softmax更倾向的是argmax，类似[1,0,0]。
