[人工智能]【西瓜书】第三章线性模型---学习笔记

线性模型

1.基本形式

线性模型是通过属性的线性组合来进行预测的函数，形式如下
$f(x)=w_1{x}_1+w_2{x}_2+?+w_i{x}_i+b$
简化写成向量形式：
$f(x)=w^{T}x+b$---------------------------------------------------------------------------------(1)
其中$w$ = ($w_1,w_2...;w_i$).这里$w和b$学得之后就可以确定模型。

2.线性回归

将属性转化为数值：对离散属性，若属性值间存在“序”关系，则转化为连续值，例如：二值属性“胖瘦”的取值“胖” “瘦可转化为{1.0，0.0}
非连续属性值可以转化为k维向量。

2.1均方误差最小化

$f(x_i)=w^T{x}_i+b$，要使预测值$f(x_i)?y_i$ ，需要确定$w，b$的取值，使得所有样本到直线上的直线距离之和最小，这里就要用到均方误差最小化来求解。
$E(w,b)={\Sigma }_i^m(y_i?w{x}_i?b{)}^2$i从1开始

2.2证明凸函数

凸集：若两个点属于同一个集合，则这两点连线上的任意一点都属于此集合。
凸函数：设D是非空凸集，$f$是定义在D上的函数，如果对于任意的$x_1,x_2\in D,\alpha \in (0,1)$,均有
$f(\alpha x_1+(1?\alpha )x_2)\le \alpha f(x_1)+(1?\alpha )f(x_2)$
则称为$f$为$D$上的凸函数。
注意：这里说的凸函数和高数中的凸函数不一样。

证明$E(w,b)$是关于$w和b$的凸函数，就是证明各分量二阶偏导数$\frac{{?}^{2}f(x)}{?x_i?x_j}$都存在。

2.3用凸函数求最值求解$w，b$

2.4 极大似然估计求最大值等价于求均方差最小值

3.对数几率回归

在线性模型的基础上套一个映射函数，来实现分类功能。

映射函数为对数几率函数：
$y=\frac{1}{1+e^{?}z}$
然后用极大似然对数来估计$w和b$,
$l(\beta )={\Sigma }_{i=1}^{m}lnp(y_i|x_i;w,b),$
对数几率回归算法的机器学习三要素：
1.模型：线性模型输出值为【0，1】，近似阶跃函数，单调可微
2.策略：极大释然估计
3.算法：梯度下降法

4.线性判别分析

算法原理：给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点足够近，异类的样例的投影点足够远

损失函数：$J=\frac{||w^T{\mu }_0?w^T{\mu }_1|{|}_2^2}{w^T({\sum }_0+{\sum }_1)w}$ 。 $其中|{|}_2$ 表示二范数：向量的模长
$=\frac{w^T({\mu }_0?{\mu }_1{)}^T({\mu }_0?{\mu }_1)w}{w^T({\sum }_0+{\sum }_1)w}$
可将上式重写为：$\max J=\frac{w^T{S}_{b}w}{w^T{S}_{w}w}$
$S_w矩阵是固定的，w模长不影响上式$
令$w^T{S}_{w}w=1$
把上式转为最小化问题
$\min ?w^T{S}_{b}w$最小时原式最大