一、偏微分方程PDE图像去噪简介
1 引言
目前，数字图像已经成为信息时代人们获取信息的主要来源。受外界干扰因素和内部成像因素的影响，数字图像中会存在一些噪声。如果数字图像中存在较大的噪声将会导致图像清晰度和分辨率有所降低，妨碍人们对接收到的图像源信息进行理解和分析，因此所有数字图像在制作和形成过程中必须要进行降噪处理，利用有效的图像去噪处理方法和技术提高图像质量。传统方法虽然在一定程度上可以起到去噪效果，但是在实际应用中去噪后的图像峰值信噪比仍然较高，图像的清晰度和分辨率提升效果不够明显。由此可以看出现有的去噪处理方法已经无法满足图像去噪处理需求，为此提出基于偏微分方程的图像去噪处理方法。
2 基于偏微分方程的图像去噪处理方法设计
本文结合偏微分方程的优点，首先利用二阶偏微分方程和四阶偏微分方程对数字图像进行低频段和高频段处理，并将处理后的图像系数进行非下采样轮廓波逆变换；其次利用主成分分析算法对图像进行降维处理，将图像不同子带进行分块管理，实现对图像局部处理；最后利用主成分分析算法获取到图像的重构数据，最终实现对图像的去噪处理。
基于偏微分方程的图像去噪处理方法主要分为两部分，第一部分是利用偏微分方程对图像边缘进行处理，降低图像边缘的信噪比；第二部分是对图像进行局部降维去噪处理。从图像边缘到局部，最终提高图像整体的去噪精度，以下将从这两方面对基于偏微分方程的图像去噪处理方法进行详细说明。
2.1 基于偏微分方程的图像边缘处理
利用偏微分方程对图像边缘进行去噪处理，根据图像边缘频段特征，可以分为高频段和低频段，本文利用二阶偏微分方程对图像高频段进行处理，所用到的二阶偏微分方程公式为：
式中，div表示为散度算子，a为扩散系数，Δu表示介质内指定局部的浓度转换方向和梯度算子，r表示随时间和空间转换的介质转换量，t表示转换时间[。由该二阶偏微分方程可知，边界未消失的原因是梯度在边界周围扩展，正则化结束。而通常情况下数字图像的边缘数据和噪声位于轮廓边缘波变换的高频段处，因此可以利用式（1）对图像高频段进行处理，将图像高频段噪声进行转换。
图像低频段也存在少量的噪声，相对于图像高频段噪声，低频段的噪声比较少，但是低频段含有较多有用的边缘信息，因此根据图像低频段特征可以采用四阶偏微分方程对图像低频段进行去噪处理。利用二阶偏微分方程和四阶偏微分方程计算出图像高频段系数和低频段系数后，实施非下采样轮廓波逆变换，获取边缘去噪后的图像。
2.2 图像局部去噪降维
在利用偏微分方程完成图像边缘去噪后，为了降低图像的整体信噪比，还需要在其基础上进行局部去噪降维处理，过程如下。
首先根据偏微分方程计算到的高频段系数和低频段系数对图像进行轮廓波变换，利用Laplace变换对边缘去噪后的图像进行多尺度分解，获取到多个不同子带；其次在Laplace中定位出各个图像子带中的奇异点，并将滤波器应用在分解后的子带分量上，连接图像子带上的奇异点形成一个线性结构，将图像整体以线性结构的方式呈现出来；最后采用主成分分析法对图像中元信息量进行变换，并且通过调节图像线性结构降低图像的整体维数，达到降维的目的。
二、部分源代码
%---------------------------------------------%
% %
clc
clear all
% I=imread('pentagram.bmp');%gray image
% I=imread('lena1.bmp');
% I=imread('cameraman.tif');I=double(I(25:125,70:170));
I=imread('canal.gif');%gray noisy image
% [I,map]=imread('ct_scan.bmp');I=ind2gray(I,map);
% I=imread('ant.jpg');%color image
I=double(I);
[row,col,nchannel]=size(I);
In=I;
%加入(均值=0,方差=sigma)的高斯噪声(可选)
sigma=15;
if nchannel==1%gray image
In=I+sigma*randn(row,col);
elseif nchannel==3%color image
In=I+sigma*randn(row,col,3);
end
三、运行结果
四、matlab版本及参考文献
1 matlab版本
2014a
2 参考文献
[1] 蔡利梅.MATLAB图像处理——理论、算法与实例分析[M].清华大学出版社，2020.
[2]杨丹,赵海滨,龙哲.MATLAB图像处理实例详解[M].清华大学出版社，2013.
[3]周品.MATLAB图像处理与图形用户界面设计[M].清华大学出版社，2013.
[4]刘成龙.精通MATLAB图像处理[M].清华大学出版社，2015.
[5]陈亚楠.基于偏微分方程的图像去噪处理方法[J].信息与电脑(理论版). 2021,33(10)
3 备注
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