[人工智能]简单理解图神经网络 GNN

简单理解图神经网络 GNN

前言

图神经网络（Graph Neural Networks，GNN）最早由The Graph Neural Network Model(Gori et al., 2005)提出。近年来，深度学习领域关于图神经网络的研究热情日益高涨，图神经网络已经成为各大深度学习顶会的研究热点。

本文主要介绍图神经网络的基本原理，通过简单的方式理解 GNN, GCN 是如何工作的，尽量把原理说清楚。

Overview

总的来说，GNN 就是做了这么一件事情：利用图的节点信息去生成节点（图）的 Embedding 表示。

Graph Neural Network(GNN)

既然是 Graph，那么我们的数据就是一张图：

其中$h_A,h_B,h_C,h_D,h_E$分别是节点$A,B,C,D,E$的所包含的信息，你也可以简单理解为是这个节点的特征。

GNN 可分为三步：1. 聚合；2. 更新；3. 循环。

首先是聚合。通过观察上面的图我们可以发现，节点$A$有三个邻居节点$B,C,D$，显然这是一个非常重要的信息，节点$A$与这三个节点有密切的联系。举个例子，如果我们不知道节点$A$是否有钱，但是我们发现节点$B,C,D$都非常有钱，那么很大程度上节点$A$也非常有钱，也就是通过节点的邻居信息判断这个节点的信息。那么要如何利用这个特征呢？

就像在一开始说的，GNN 就是利用图的节点信息去生成节点（图）的 Embedding 表示，这也就是聚合。我们可以通过简单的方式获取邻居的信息：

$$\begin{array}{rl}{N}_A& =a?h_B+b?h_C+c?h_D\\ & =a?(2,2)+b?(3,3)+c?(4,4)\end{array}$$

其中$a,b,c$为常数，也可以通过训练得到或者是手动设定，我们这里简单理解为常数。

好了，通过上面的简单的方式，我们得到了节点$A$的邻居的信息，我们将这个信息作为节点$A$信息的补充。

再来是更新。当我们获取了邻居的信息后，自然也不能忘了节点$A$本身的信息：

$$(h_A+\alpha ?N_A)$$

其中$\alpha$为常数（同样也可以通过训练得到或者是手动设定，这里简单理解为常数）。当然了，肯定不能直接简单加起来就作为节点$A$的新的信息，而是需要进行一些处理，其实也就是常规的线性变换，再过个激活函数：

$$\begin{array}{r}{h}_A=\sigma (W(h_A+\alpha ?N_A))\end{array}$$

其中$\sigma$为激活函数，$W$为权重矩阵，$h_A$为节点$A$的信息，$N_A$为节点$A$的邻居信息。

简而言之，聚合更新就是把节点的邻居的信息添加到这个节点中。

现在，一次聚合操作就完成了，经过一次聚合之后：

• 节点$A$中有$B,C,D$的信息；
• 节点$B$中有$A,C$的信息；
• 节点$C$中有$A,B,D,E$的信息；
• 节点$D$中有$A,C$的信息；
• 节点$E$中有$C$的信息；

第二次聚合也是类似的，仍然以节点$A$为例，计算节点$A$的邻居信息。但此时当节点$A$聚合节点$C$的时候，由于节点$C$中包含了节点$E$的信息，所以这时节点$A$获得了二阶邻居$E$的信息。

归根结底，GNN 就是一个提取特征的方法。

Graph Convolutional Network(GCN)

好了，讲完了 GNN 的总体思路，让我们具体来看看 GCN 是怎么做的。还是以下面这幅图为例:

同样的，我们需要获取节点$A$的邻居信息:

$$\begin{array}{rl}{N}_A& =a?h_B+b?h_C+c?h_D\\ & =a?(2,2)+b?(3,3)+c?(4,4)\end{array}$$

这里我们使用矩阵的方式来表示图，邻接矩阵$A$，以及隐藏层矩阵$H$。

$$A=?\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}?H=?\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\\ 3& 3\\ 4& 4\\ 5& 5\end{array}?$$

这里假设$a=b=c=1$，那么，节点$A$的邻居信息就可以表示为：

$$\begin{array}{rl}{N}_A& =\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]?\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\\ 3& 3\\ 4& 4\\ 5& 5\end{array}?=\left[\begin{array}{cc}9& 9\end{array}\right]\\ & =A_{0,?}H\end{array}$$

其中$A_{0,?}$表示矩阵$A$的第一行，即节点$A$的邻居关系。另外别忘了加上节点$A$自身的信息，具体来说，可以通通过加上单位矩阵$I$的方式实现：

$$\begin{array}{rl}{N}_A& =\left(\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right)?\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\\ 3& 3\\ 4& 4\\ 5& 5\end{array}?=\left[\begin{array}{cc}10& 10\end{array}\right]\\ & =(A_{0,?}+I_{0,?})H\end{array}$$

同理，我们可以得到所有节点的邻居信息$N$:

$$\begin{array}{rl}N& =(A+I)H\\ & :=\tilde{A}H\end{array}$$

记$\tilde{A}=A+I$

现在，就可以写出隐藏层的更新方程了，与之前的思路类似，常规的线性变换，再过个激活函数：

$$H^{(l+1)}=\sigma (\tilde{A}{H}^{(l)}{W}^{(l)})$$

其中$l$为循环层数，$\sigma$为激活函数，$W$为隐藏层的权重矩阵。

现在还有最后一个问题，你会发现，现在我们的矩阵$\tilde{A}$中，非零元素均为$1$，即简单的将当前节点的邻居信息相加，可以想象的是它会越来越「膨胀」。

$$\tilde{A}=?\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\end{array}?$$

实际上，解决这个问题并不麻烦，归一化就行了。在图 Graph 中，我们可以借助「度」来进行归一化。具体为什么这么做、为什么要进行归一化我们放在后面讲：关于归一化的一些问题。

具体什么是度这里就不赘述了，给出度矩阵：

$$D=?\begin{array}{ccccc}3& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}?\tilde{D}=?\begin{array}{ccccc}4& 0& 0& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{array}?$$

其中，$D,\tilde{D}$分别是$A,\tilde{A}$的度矩阵。

这里直接给出 GCN 论文 Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks 中的归一化方法，它的本质是对称归一化的拉普拉斯矩阵：

$${\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{?1/2}$$

关于上面的归一化方法，我们同样在后面具体讨论：关于归一化的一些问题，如果你不想了解细节也没关系，你只需要知道它的作用即可。

至此为止，我们可以得到完整的隐藏层的更新方程：

$$H^{(l+1)}=\sigma ({\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{?1/2}{H}^{(l)}{W}^{(l)})$$

其中$l$为循环层数，$\sigma$为激活函数，$W$为隐藏层的权重矩阵，$\tilde{A}=(A+I)$，$\tilde{D}$是$\tilde{A}$的度矩阵。虽然式子长得难看了点，但我想如果你了解了上面讲的内容，也就不难理解了。

关于归一化的一些问题

现在，让我们回到上面没解决的问题：

1. 为什么要进行归一化？
2. 论文中为什么使用${\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{?1/2}$进行归一化？

问题一

首先，为什么要进行归一化？这个问题其实在上面也有简单的解释。矩阵$\tilde{A}$中，非零元素均为$1$，那么这就意味着，在计算$\tilde{A}H$时，就是简单的将当前节点的邻居信息相加，各个邻居一视同仁。

问题二

归一化

一个直观的归一化方法是：平均化聚合每个节点的信息。

$$\tilde{A}=?\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\end{array}?\to ?\begin{array}{ccccc}1/4& 1/4& 1/4& 1/4& 0\\ 1/3& 1/3& 1/3& 0& 0\\ 1/5& 1/5& 1/5& 1/5& 1/5\\ 1/3& 0& 1/3& 1/3& 0\\ 0& 0& 1/2& 0& 1/2\end{array}?={\tilde{D}}^{?1}\tilde{A}$$

其中，${\tilde{D}}^{?1}$是$\tilde{A}$的度矩阵的逆。从数学的角度，上面的平均化也就是${\tilde{D}}^{?1}\tilde{A}$的过程。现在我们已经将求和变成了加权平均，权值之后归一化为$1$了。

对称归一化

那么为什么不直接使用简单的平均化方法呢？第一个缺点就是${\tilde{D}}^{?1}\tilde{A}$不再是对称矩阵了，这不是我们想要看到的。

第二个缺点我们来看一个比较特殊的例子，在下面这幅图中，我们发现节点$A$只有一个邻居节点$C$，另一方面节点$C$有着包括$A$在内的 6 个邻居节点。

按照上面的平均化思路，当节点$A$聚合节点$C$时，节点$C$所有的特征会完全加到节点$A$上，但实际上，节点$A$和节点$C$的差距是很明显的。举个例子，节点$A$是我，节点$C$是老板，老板管着一票人，我只是一个苦命的打工人，不可能说把老板的工资完全加到我身上，然后我拿着一半我的工资，一半老板的工资，美滋滋。

那么一个科学的方法就是同时考虑节点$A$和$C$的邻居数量，即「度」，具体来说，可以考虑几何平均数$\sqrt{{\tilde{D}}_{ii}{\tilde{D}}_{jj}}$，回到${\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{?1/2}$：

$$\begin{array}{rl}({\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{?1/2}H{)}_i& =({\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{)}_i{\tilde{D}}^{?1/2}H\\ & =\left(\sum _k{\tilde{D}}_{ik}^{?1/2}{\tilde{A}}_i\right){\tilde{D}}^{?1/2}H\\ & ={\tilde{D}}_{ii}^{?1/2}\sum _j{\tilde{A}}_{ij}\sum _k{\tilde{D}}_{jk}^{?1/2}{H}_j\\ & ={\tilde{D}}_{ii}^{?1/2}\sum _j{\tilde{A}}_{ij}{\tilde{D}}_{jj}^{?1/2}{H}_j\\ & =\sum _j\frac{1}{\sqrt{{\tilde{D}}_{ii}{\tilde{D}}_{jj}}}{\tilde{A}}_{ij}{H}_j\end{array}$$

不考虑复杂的推导过程，只看结论，论文中的对称归一化方法就是使用了上面说的结论，同时考虑两个节点的邻居数量。那么，前面的例子就变成了：

$$\begin{array}{rl}{\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{?1/2}& =?\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{5}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}??\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1\end{array}??\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{5}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}?\\ & =?\begin{array}{ccccc}\frac{1}{4}& \frac{1}{2\sqrt{3}}& \frac{1}{2\sqrt{5}}& \frac{1}{2\sqrt{3}}& 0\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}& \frac{1}{3}& \frac{1}{\sqrt{15}}& 0& 0\\ \frac{1}{2\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{15}}& \frac{1}{5}& \frac{1}{\sqrt{15}}& \frac{1}{\sqrt{10}}\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}& 0& \frac{1}{\sqrt{15}}& \frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{10}}& 0& \frac{1}{2}\end{array}?\end{array}$$

最后，大佬们是如何想出${\tilde{D}}^{?1/2}\tilde{A}{\tilde{D}}^{?1/2}$的呢？其实，这个公式很接近对称归一化的拉普拉斯矩阵：
$$L^{sym}=D^{?1/2}L{D}^{?1/2}=I?D^{?1/2}A{D}^{?1/2}$$

Graph Attention Network(GAT)

如果你熟悉 Attention 机制，那么在了解了上面的内容之后，就不难理解 Graph Attention Network(GAT) 了，无非就是对邻居节点的权重进行自动学习，这里就不再细说了。

总结

最后，还是想强调一点，GNN 就是做了这么一件事情：利用图的节点信息去生成节点（图）的 Embedding 表示。就是那么一个 Embedding 的方法。

参考资料

• [1] The Graph Neural Network Model
• [2] Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks
• 简单粗暴带你快速理解 GNN
• 图卷积网络（GCN）入门详解