【youcans 的 OpenCV 例程 300篇】235. 特征提取之主成分分析（sklearn）

特征提取是指从原始特征中通过数学变换得到一组新的特征，以降低特征维数，消除相关性，减少无用信息。

特征提取分为线性映射方法和非线性映射方法。

5.2 主成分分析的数学方法

主成分分析（Principal Components Analysis，PCA）是一种基于统计的数据降维方法，又称主元素分析、主分量分析。主成分分析只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩、去噪，应用非常广泛。

众多原始变量之间往往具有一定的相关关系。这意味着相关变量所反映的信息有一定程度的重叠，因此可以用较少的综合指标聚合、反映众多原始变量所包含的全部信息或主要信息。主成分分析方法研究特征变量之间的相关性、相似性，将一组相关性高的高维变量转换为一组彼此独立、互不相关的低维变量，从而降低数据的维数。

主成分分析方法的思想是，将高维特征（p维）映射到低维空间（k维）上，新的低维特征是在原有的高维特征基础上通过线性组合而重构的，并具有相互正交的特性，称为主成分特性。

通过正交变换构造彼此正交的新的特征向量，这些特征向量组成了新的特征空间。将特征向量按特征值排序后，样本数据集中所包含的全部方差，大部分就包含在前几个特征向量中，其后的特征向量所含的方差很小。因此，可以只保留前 k个特征向量，而忽略其它的特征向量，实现对数据特征的降维处理。

主成分分析的基本步骤是：对原始数据归一化处理后求协方差矩阵，再对协方差矩阵求特征向量和特征值；对特征向量按特征值大小排序后，依次选取特征向量，直到选择的特征向量的方差占比满足要求为止。

主成分分析方法得到的主成分变量具有几个特点：（1）每个主成分变量都是原始变量的线性组合；（2）主成分的数目大大少于原始变量的数目；（3）主成分保留了原始变量的绝大多数信息；（4）各主成分变量之间彼此相互独立。

算法的基本流程如下：

（1）归一化处理，数据减去平均值；
（2）通过特征值分解，计算协方差矩阵；
（3）计算协方差矩阵的特征值和特征向量；
（4）将特征值从大到小排序；
（5）依次选取特征值最大的 k个特征向量作为主成分，直到其累计方差贡献率达到要求；
（6）将原始数据映射到选取的主成分空间，得到降维后的数据。

在图像处理中，把每幅二维图像拉伸为一维向量，即展平为一维数组。一组 m 幅图像就构造为一个 m 维向量，使用 Karhunen-Loève transform（KLT）变换得到变换矩阵，选取特征值最大的 k个特征向量作为主成分，从而实现特征降维。

图像压缩过程是把一组原始图像变换成低维向量的过程，图像重建就是由低维向量变换重建图像组的过程。使用主成分分析进行图像压缩和重建会有少量信息损失，但可以把损失控制到很小。

5.3 SKlearn 的主成分分析方法

SKlearn 工具包提供了多种降维分析方法。sklearn.decomposition.PCA 类是 PCA算法的具体实现，官网介绍详见：https://scikit-learn.org/stable/modules/decomposition.html#principal-component-analysis-pca

sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, copy=True, whiten=False)

class sklearn.decomposition.PCA(n_components=None, *, copy=True, whiten=False, svd_solver=‘auto’, tol=0.0, iterated_power=‘auto’, random_state=None)

PCA 类的主要参数：

n_components：n 为正整数时，表示保留主成分的维数；n 为 (0,1] 范围的实数时，表示主成分的方差和所占的最小阈值
whiten：白化选项，使得每个特征具有相同的方差，默认值为 False
svd_solver：奇异值分解 SVD 的算法选择，‘full’ 表示调用 scipy库的 SVD；‘arpack’ 调用 scipy 库的 sparse SVD；‘randomized’ 调用 SKlearn的SVD，适用于数据量大、变量维度多、主成分维数低的场景。默认值为 ‘auto’。

PCA 类的主要属性：

components_：方差最大的 n-components 个主成分
n_features_：训练数据中的特征数
n_samples_：训练数据中的样本数
explained_variance_：各个主成分的方差值
explained_variance_ratio_：各个主成分的方差值的占比

PCA 类的主要方法：

fit(X)：表示用数据 X 训练 PCA 模型，维数 (m,p)。fit() 是 SKlearn中的通用方法，实现训练、拟合的步骤。
fit_transform(X)：表示用数据 X 训练PCA模型，并返回降维后的数据
transform(X)：将数据 X 转换成降维后的数据，用训练好的 PCA模型对新的数据集进行降维。
inverse_transform(Xnew)：将降维后的数据转换成原始数据，维数(m,k)。

SKlearn 工具包针对实际问题的特殊性，发展了各种改进算法，例如：

增量主成分分析：针对大型数据集，为了解决内存限制问题，将数据分成多批，通过增量方式逐步调用主成分分析算法，最终完成整个数据集的降维。
核主成分分析：针对线性不可分的数据集，使用非线性的核函数把样本空间映射到线性可分的高维空间，然后在这个高维空间进行主成分分析。
稀疏主成分分析：针对主成分分析结果解释性弱的问题，通过提取最能重建数据的稀疏分量，凸显主成分中的主要组成部分，容易解释哪些原始变量导致了样本之间的差异。

例程 14.16：特征描述之主成分分析（sklearn.decomposition.PCA）

本例程的图像来自 R.C.Gonzalez 《数字图像处理（第四版）》P622 例11.16。本例的目的是说明如何使用主分量作为图像特征。

    # # 14.16 特征描述之主成分分析 (sklearn)
    from sklearn.decomposition import PCA

    # 读取光谱图像组
    img = cv2.imread("../images/Fig1138a.tif", flags=0)
    height, width = img.shape[:2]  # (564, 564)
    nBands = 6  # 光谱波段种类
    snBands = ['a','b','c','d','e','f']  # Fig1138a~f
    imgMulti = np.zeros((height, width, nBands))  # (564, 564, 6)
    Xmat = np.zeros((img.size, nBands))  # (318096, 6)
    print(imgMulti.shape, Xmat.shape)

    # 显示光谱图像组
    # fig1 = plt.figure(figsize=(9, 6))  # 原始图像，6 个不同波段
    # fig1.suptitle("Spectral image of multi bands by NASA")
    for i in range(nBands):
        path = "../images/Fig1138{}.tif".format(snBands[i])
        imgMulti[:,:,i] = cv2.imread(path, flags=0)  # 灰度图像
        # ax1 = fig1.add_subplot(2,3,i+1)
        # ax1.set_xticks([]), ax1.set_yticks([])
        # ax1.imshow(imgMulti[:,:,i], 'gray')  # 绘制光谱图像 snBands[i]
    # plt.tight_layout()

    # 主成分分析 (principal component analysis)
    for i in range(nBands):
        Xarray = imgMulti[:,:,i].flatten()  # 转为一维数组
        Xmat[:,i] = (Xarray - Xarray.mean()) / Xarray.std()  # 数据标准化 (318096, 6)

    m, p = Xmat.shape  # m：训练集样本数量，p：特征维度数
    modelPCA = PCA(n_components=0.95)  # 建立 PCA 模型，设定主成分方差贡献率 95%
    Xpca = modelPCA.fit_transform(Xmat)  # 返回降维后的数据 (m,k)=(318096,3)
    k = modelPCA.n_components_  # 主成分方差贡献率 95% 时的特征维数 k=3
    print("number of samples: m=", m)  # 样本集的样本数量 m=318096
    print("number of features: p=", p)  # 样本集的特征维数 p=6
    print("number of PCA features: k=", k)  # 降维后的特征维数，主成分个数 k=3
    # print("principal axes in feature space:", modelPCA.components_)  # 各主成分的主轴方向
    print("explained variance:", modelPCA.explained_variance_.round(4))  # 各主成分的方差
    print("explained variance ratio:", modelPCA.explained_variance_ratio_.round(4))  # 各主成分的方差贡献率
    print("cumulative explained variance ratio:", np.cumsum(modelPCA.explained_variance_ratio_).round(4))
    # 主成分累计方差贡献率，[0.6496 0.9016 0.9744]
    print("singular values of each selected components:", modelPCA.singular_values_.round(4))  # 各主成分的奇异值

    # 显示主成分变换图像
    fig2 = plt.figure(figsize=(9, 6))  # 主元素图像
    fig2.suptitle("Principal component images")
    imgPCA = np.zeros((height, width, k))  # (564, 564, 6)
    for i in range(k):
        pca = Xpca[:, i].reshape(-1, img.shape[1])  # 主元素图像 (564, 564)
        imgPCA[:,:,i] = cv2.normalize(pca, (height, width), 0, 255,  cv2.NORM_MINMAX)
        ax2 = fig2.add_subplot(2,3,i+1)
        ax2.set_xticks([]), ax2.set_yticks([])
        ax2.imshow(imgPCA[:,:,i], 'gray')  # 绘制主成分图像
    plt.tight_layout()

    # 由主成分分析重建图像
    Xrebuild = modelPCA.inverse_transform(Xpca)  # 由降维特征数据恢复原始维数特征数据 (m,k)->(m,p)
    print(Xmat.shape, Xpca.shape, Xrebuild.shape)  # (318096, 6), (318096, 3), (318096, 6)
    fig3 = plt.figure(figsize=(9, 6))  # 重建图像，6 个不同波段
    fig3.suptitle("Rebuild images of multi bands by youcans")
    for i in range(nBands):
        rebuild = Xrebuild[:, i].reshape(-1, img.shape[1])  # 主元素图像 (564, 564)
        imgRebuild = cv2.normalize(rebuild, (height, width), 0, 255,  cv2.NORM_MINMAX)
        ax3 = fig3.add_subplot(2,3,i+1)
        ax3.set_xticks([]), ax3.set_yticks([])
        ax3.imshow(imgRebuild, 'gray')  # 绘制重建的光谱图像 (有信息损失)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

运行结果：

number of samples: m=318096
number of features: p=6
number of PCA features: K=3
explained variance: [3.8978 1.512 0.4368]
explained variance ratio: [0.6496 0.252 0.0728]
cumulative explained variance ratio: [0.6496 0.9016 0.9744]
singular values of each selected components: [1113.4896 693.5156 372.764 ]
(318096, 6) (318096, 3) (318096, 6)

注意：
建立模型时，PCA(n_components=2) 中的 n_components 为正整数，表示设定保留的主成份维数为 2；PCA(n_components=0.95) 中的 n_components 为 (0,1) 的小数，表示保留的主成分的累计方差贡献率大于设定值 0.95。

在这里插入图片描述

【本节完】

版权声明：
本例程的图像来自 R.C.Gonzalez 《数字图像处理（第四版）》P622 例11.16。
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234. 特征提取之主成分分析（PCA）
235. 特征提取之主成分分析（sklearn）
236. 特征提取之主成分分析（OpenCV）