我们在临床研究中，经常要研究疾病与生存率的关系，cox回归是用得比较常见的模型之一。Cox 比例风险模型依赖于风险随时间变化的假设（PH假设），意思是协变量对结局的影响随着时间变化是固定的。然而现实中常有不满足于PH假设的情况。如文章：All-cause and cause-specific mortality associated with diabetes in prevalent hemodialysis patients中报道了一个人的糖尿病状态可能会随着时间而变化，尿毒症患者肾功能随着时间变化加重，因此Cox 比例风险模型用在此处不合适，我们可以选用COX回归模型的扩展，一般有两种内在和外部，见下图
第一种我们可以看到时间t和X有关系，对系数β没什么影响，第二种可以看到时间t对β有影响，随着时间变化β是不同的，即系数是不同的。
对于第一种情况比较少见，今天我们主要来聊聊第二种情况，系数β随时间变化的cox时变系数模型（什么叫法都有，原理大概就是这个意思），使用的是survival包自带的肺癌数据集，我们先导入R包和数据
library(survival)
lung<-lung
我们先来看一下数据，inst机构代码，time以天为单位的生存时间，status:结局变量，1为死亡0为存活，age: 年龄，sex: 男=1 女=2，ph.ecog: 由医师评定的 ECOG 表现评分。 0 = 无症状，1 = 有症状但完全不卧床，2 = 卧床时间 < 50%，3 = 卧床时间 > 50% 但不卧床，4 = 卧床，ph.karno: 由医师评定的 Karnofsky 表现评分（差=0-好=100），pat.karno: 由患者评定的 Karnofsky 性能评分，meal.cal: 用餐时消耗的卡路里，wt.loss: 过去六个月的体重减轻（磅）
我们先来拟合一个cox模型
fit2 <- coxph(Surv(time, status) ~age +ph.karno+sex,data=lung)
survival包自带的cox.zph函数可以用于PH假设的检查
zph <- cox.zph(fit2)
zph
我们可以看到ph.karno的P值小于0.05，表明ph.karno没有通过PH假设，全局显着性检验给出的 P 值 (0.0157) 表明模型缺乏拟合。我们可以通过plot函数对ph.karno这个变量进行可视化
plot(zph[2],lwd=2)
abline(0,0, col=1,lty=3,lwd=2)
abline(h= fit2$coef[2], col=3, lwd=2, lty=2)
legend("bottomright",
legend=c('Reference line for null effect',
"Average hazard over time",
"Time-varying hazard"),
lty=c(3,2,1), col=c(1,3,1), lwd=2)
其中黑色虚线表示系数为0，就是ph.karno无效的情况，绿色虚线表示的是ph.karno的平均效应值，我们可以看到均线和实际背离是相当大的，因此这个情况使用cox.zph 函数来处理是非常恰当的。
对时变系数建模的一种方法是使用阶跃函数，例如 (g(t) = I ( t ≥ t o ))，其中t o是指定值。这种方法的想法是将分析时间分成几个区间，并为这些时间区间分层 Cox 比例模型。随着时间的推移，固定基线协变量的影响会变得更强或更弱，这可以通过时间分层来探索。我们可以看到ph.karno大约在180和350左右有两个转折，我们可以使用survSplit函数进行分段，
lung.split <- survSplit(Surv(time, status) ~ .,
data= lung, cut=c(180, 350),
episode= "tgroup", id="id")
这样我们就多了一个新指标tgroup，如下图
新指标tgroup对time的时区进行了划分，被分割成 (0, 180), (180, 350) 和 (350, 455) 的区间，tgroup=1 标识第一个时间间隔(0, 180)，tgroup=2 标识第二个时间间隔(180, 350)，3就是(350, 455)
现在我们把lung.split这个数据拿来重新进行模型拟合，建立一个ph.karno和tgroup的交互分层
fit.split <- coxph(Surv(tstart, time, status) ~
age + ph.karno:strata(tgroup)+
sex,
data=lung.split)
fit.split
我们可以看到tgroup=1的时候ph.karno是P是有意义的，HR=0.965594，其他时候就不行了，我们从新使用cox.zph函数进行PH假设评估
cox.zph(fit.split)
这次全部通过PH假设了，GLOBAL=0.2（大于0.05）表明模型是拟合的。
另一种方法是通过使用用户指定的参数连续函数来构造一个交互项，在 coxph() 函数中，有一个tt参数来指定时间的具体变换。在本例中，tt函数定义为“tt = function(x, t, …) x * log(t+20)”，其中 x 是具有时变效应的固定协变量，t是分析时间。tt() 函数应用于变量ph.karno。模型公式中的karno为“tt(ph.karno)”，为什么是log(t+20)，依据参考文献的说法是选择在log(t+20)之上用cox.zph图的时间尺度，使得该图的前200天大致呈线性。
fit.tt <- coxph(Surv(time, status) ~
age + ph.karno + tt(ph.karno)+ sex,
data=lung,tt = function(x, t, ...) x * log(t+20))
fit.tt
ph.karno 和 tt(ph.karno) 的系数都具有统计显着性，这意味着 ph.karno 的影响随时间而变化。ph.karno 的时变效应可以写为 β(t) = -0.098+0.015×log( t + 20)。
我们可以使用 abline() 函数在 ph.karno 对生存的时变影响的 cox.zph 图中添加一条线。
zph.tt <- cox.zph(fit2,
transform=function(t) log(t+20))
plot(zph.tt[2])
abline(coef(fit.tt)[2:3], col=2)
在有些文章中使用的是HR并非系数（如下图），如文章：All-cause and cause-specific mortality associated with diabetes in prevalent hemodialysis patients
我们也可以转换一下
也可以添加一条有意义的参考线，至于什么是有意义的需要你自己研究了
我们也可以使用timereg 包研究时变系数，timereg包附带的 timecox() 函数能够拟合具有时间固定和时变系数的 Cox 模型。时变效应通过重采样方法进行测试，想了解原理的请看参考文献。
library(timereg)
fit.out <- timecox(Surv(time,status)~
age+sex+ph.karno,
data=lung,n.sim=500,
max.time=700)
summary(fit.out)
输出的第一个表显示了非显着效应检验的结果（例如，原假设表明被检验的系数与 0 没有显着差异），这表明sex和ph . karno对生存结果有显着影响。第二个表显示了时间不变效应的检验。Kolmogorov-Smirnov 检验和 Cramer von Mises 检验都用于检验时不变效应，ph.karno 的效果不是固定时间的。
par(mfrow=c(2,2))
plot(fit.out)
ph.karno在开始时很陡，然后在大约 250 之后变平。变量年龄没有显着影响，因为置信区间与零效应参考线相交。变量性别有显着影响，但不能拒绝时不变效应的原假设。通过 const() 函数将性别和年龄设置为时间固定效应变量。
fit.const <- timecox(Surv(time,status)~
const(age)+const(sex)+ph.karno,
data=lung,n.sim=500,
max.time=700)
summary(fit.const)
年龄和性别的常数效应分别为 0.0135 和 -0.6210。
par(mfrow=c(1,2))
plot(fit.const)
参考文献:
- Thomas L, Reyes EM. Tutorial: Survival Estimation for Cox Regression Models with Time-Varying Coefficients Using SASand R. Journal of Statistical Software 2014;61:1-23. 10.18637/jss.v061.c01
- Terry Therneau, Cynthia Crowson, Elizabeth Atkinson. Using Time Dependent Covariates and Time Dependent Coecients in the Cox Model. November 26, 2018
- Gray’s Time-Varying Coefficients Model for Posttransplant Survival of Pediatric Liver Transplant Recipients with a Diagnosis of Cancer
- Zhang Z, Reinikainen J, Adeleke KA, Pieterse ME, Groothuis-Oudshoorn CGM. Time-varying covariates and coefficients in Cox regression models. Ann Transl Med. 2018 Apr;6(7):121. doi: 10.21037/atm.2018.02.12. PMID: 29955581; PMCID: PMC6015946.
- Tian L, Zucker D, Wei LJ. On the Cox Model With Time-Varying Regression Coefficients. Harvard University Biostatistics Working Paper 2005;100:172-83.
- Adeleke KA, Abiodun AA, Ipinyomi RA. Semi-parametric non-proportional hazard model with time varying covariate. Womens Health Journal 2015;14:68-87
- Ren Y, Chang CC, Zenarosa GL, Tomko HE, Donnell DM, Kang HJ, Roberts MS, Bryce CL. Gray’s time-varying coefficients model for posttransplant survival of pediatric liver transplant recipients with a diagnosis of cancer. Comput Math Methods Med. 2013;2013:719389. doi: 10.1155/2013/719389. Epub 2013 May 12. PMID: 23762197; PMCID: PMC3665233.
- Sattar A, Argyropoulos C, Weissfeld L, Younas N, Fried L, Kellum JA, Unruh M. All-cause and cause-specific mortality associated with diabetes in prevalent hemodialysis patients. BMC Nephrol. 2012 Oct 1;13:130. doi: 10.1186/1471-2369-13-130. PMID: 23025844; PMCID: PMC3519533.