[人工智能]【MindSpore】【深度学习Step by Step】（1-1）线性神经网络

深度学习Step by Step

写在前面

本教程是有关深度学习的入门教程，基于一个国产的人工智能引擎，mindspore，主要参考了《深度学习》以及《动手学深度学习》，使用MindSpore实现了《动手学深度学习》中很多有用的练习，可以作为深度学习以及MindSpore的入门教程。

阅读本教程需要有一定的Python基础。

你可以访问这个连接进行下载MindSpore：https://www.mindspore.cn/install。

所有代码可以在仓库中获取。

线性神经网络

在历史上，神经网络有三次浪潮，其一是随着控制论的发展，奠定了神经网络的基本结构（感知机）；第二次是联结主义的发展，使用了反向传播；深度学习则是近十几年发展而来，主要的代表有卷积神经网络等。

下面通过numpy来实现线性回归，以介绍深度学习的基本知识。

产生数据

假设有一个线性生成器，以下式产生数值，其实W与B是未知的矩阵，N是高斯分布的噪声

$$Y=W{X}^T+B+N$$

我们通过下面这个程序来生成n个数据，并添加均值为0，方差为0.01的噪声。

def synthetic_data(w, b, n):
    x = np.random.normal(0, 1, (n, 1))
    y = np.matmul(x, w) + b
    # add noise
    y += np.random.normal(0, 0.01, y.shape)
    return x, y

线性网络

我们要通过数据来估计出W与B的取值，使用线性网络

$$\hat{y}=\hat{w}{x}^T+\hat{b}$$

可以通过下面这个式子来实现

def linreg(x, w, b):
    return np.matmul(w, x.T) + b

损失函数

我们需要评估我们与目标函数之间的误差，并称这个函数为损失函数。在这里，我们采用平方误差（也叫L2损失）来衡量我们的预测函数与目标函数之间的差距。注意到我们对目标函数的$X$与$B$都是未知的，所以我们只能在给定$X$的条件下，确定预测函数输出的$\hat{y}$与目标函数输出的真实$y$之间的差距，即

$$Loss(y,\hat{y})=\frac{(\hat{y}?y{)}^2}{2}$$

上式需要除二是因为求导后的表达式更简洁。我们通过下面的程序实现：

def squared_loss(y_hat, y):
    return np.square(y_hat - y)/2

批量计算

我们通过来打乱数据，提高计算速度。

以下是实现的代码，首先，我们要产生一组索引，通过np.random.shuffle将其打乱，然后以batch_size为一个批次，用np.mat生成将一系列矩阵作为索引，最后通过yield返回数据。

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    np.random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = np.mat(indices[i:min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices, :], labels[:, batch_indices]

优化器

梯度

我们初始化设置的$W$是高斯分布的，$B$为0，可以想到，当我们输入一个$X$，此时线性网络的输出结果$\hat{y}$与真实值之间存在有较大的差距，所以我们需要通过某种方法来更新$W$与$B$。

作为线性函数时，我们很容易想到使用最小二乘法来计算最佳的$W$与$B$，但最小二乘法并不是什么时候都能够使用的。在深度学习中，我们由远及近，通过计算梯度的方式，来更新网络的参数。

什么是梯度呢？用一个简单的例子，比如有个函数，$y=\frac{1}{2}{x}^2$，我们要寻找x值的最小值，虽然从数学上我们能很容易地知道该函数的最小值是0，但假设我们现在还不知道，如何寻找该函数的最小值呢？根据微积分，加入我们有一个点$x_0$，我们将其带入函数中求导，得到$y^{\prime }=x_0$，如果$x_0>0$，则$y^{\prime }>0$，此时往$y^{\prime }$减小的方向（即$?y^{\prime }$方向）更新$x_0$，就有希望达到极小值；如果$x_0<0$，则$y^{\prime }<0$，此时往$y^{\prime }$增大的方向（即$?y^{\prime }$方向）更新$x_0$，就有希望达到极小值。从上面的例子看出，不管如何，往导数方向相反的方向，就有可能找到函数的极小值。

梯度，则是一元函数导数的推广，即对多元函数来说，梯度方向是函数值增长的方向；而梯度的反方向，有可能能够找到函数的极小值。

链式法则

对多元函数来说，可以链式法则进行求导。

反向传播

我们将由数据$x$得到$\hat{y}$的过程，称为正向传播，此时我们可以计算出梯度。根据得到的梯度，反向更新网络的参数，该过程被称为反向传播。

随机梯度下降（SGD）

我们要使$\hat{y}\to y$，等价于使损失函数最小化，也就是对损失函数求$W$与$B$的梯度，来更新$W$与$B$的权重。

所以，我们根据以下式子来更新线性函数的$W$与$B$

$$\hat{w}?lr?\frac{?Loss}{?\hat{w}}\to \hat{w}$$

$$\hat{b}?lr?\frac{?Loss}{?\hat{b}}\to \hat{b}$$

式中的$lr$是学习率，目的是将梯度的大小进行缩放，避免以太大的范围更新权限。

首先我们来计算一下$W$与$B$的梯度，根据损失函数，将$\hat{y}$代入，有

$$Loss(y,x,b)=\frac{(\hat{w}\times x+\hat{b}?y{)}^2}{2}$$

如果我们对他求导，可以得到以下两个式子

$$\frac{?Loss}{?\hat{w}}=(\hat{w}\times x+\hat{b}?y)\times x=(\hat{y}?y)\times x$$

$$\frac{?Loss}{?\hat{b}}=\hat{w}\times x+\hat{b}?y)=(\hat{y}?y)$$

我们通过下面的代码实现上述的过程。

def linreg_sgd(w, b, x, y, lr, batch_size):
    # manual calculate the gradient of squared loss
    y_hat = linreg(x.squeeze(axis=0), w, b)
    grad_w = (y_hat - y.squeeze(axis=0))*x.squeeze(axis=0)
    grad_b = (y_hat - y.squeeze(axis=0))
    grad_b = grad_b.sum(axis=1)
    new_w = w-lr*grad_w/batch_size
    new_b = b-lr*grad_b/batch_size
    return new_w, new_b

原理上，我们要在所有的样本中计算出梯度再进行更新，但现在我们只计算了一个batch size样本的梯度就对网络参数进行了更新，这个batch size样本的选择具有一定的随机性，所以称为随机梯度下降。

程序逻辑

首先，我们设置真实的分布

    true_w = np.mat([2, -3.4])
    true_b = np.array([4.2])

然后，生成1000个样本数据

    features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

设置批量为10，学习率0.03，训练三轮，

    batch_size = 10
    lr = 0.03
    epochs = 3

以均值为0，方差为0.01设置需要训练的w，以0设置b。

    w = np.random.normal(0, 0.01, (1, 2))
    b = np.zeros((1, 1))
    print(f'Initial w={w}, b={b}')

设置网络为线性网络，损失函数为平方差函数。

    net = linreg
    loss = squared_loss

最后一步，输入数据，获取梯度，更新$w$，$b$的值，计算损失函数。

    for epoch in range(epochs):
        for x, y in data_iter(batch_size, features, labels):
            w, b = linreg_sgd(w, b, x, y, lr, batch_size)
        train_loss = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'In epoch {epoch + 1}, loss is {float(train_loss.mean()):f}')

最后我们可以得到估计的$w$与$b$。

    print(f'estimate w is {w}, b is {b}')
    print(f'estimate error is that w is {w-true_w} and b is {b-true_b}')

实现结果

以下是程序的输出结果

Initial w=[[-0.0204044 -0.0061789]], b=[[0.]]
In epoch 1, loss is 0.035662
In epoch 2, loss is 0.000127
In epoch 3, loss is 0.000049
estimate w is [[ 1.9999425  -3.39916696]], b is [[4.19945344]]
estimate error is that w is [[-5.74996689e-05  8.33035609e-04]] and b is [[-0.00054656]]

（2022年10月15日更新）