1. 问题描述

符号	含义
$b$	batch size
$N$	patch size
$H$ $W$	低分辨率图像的高和宽
$H^{'}$ $W^{'}$	高分辨率图像的高和宽
$s_o$	低分辨率图像的sequence length的长度（ $o$ 是original的意思）
$s_n$	高分辨率图像的sequence length的长度（ $n$ 是new的意思）
$h$	hidden dimension，即每个patch经过linear layer后得到的vector的长度，原文是16x16x3=768

最近在读ViT相关的论文（ViT、DeiT、Swin Transformer），感觉看得比较细致，但ViT中有个细节我一直不太理解：就是在用高分辨率（high resolution）图像做微调时，作者在论文里说：保持patch size不变，直接把position embedding向量进行插值处理（interpolate），原文如下：

在这里插入图片描述

作者的意思是：当使用高分辨率（high resolution）图像对预训练好的ViT进行微调（fine-tuning）时，保持patch size（ $N ? N$ ）不变（即每个patch中的像素数量不变），但由于image size（ $H^{'} ? W^{'}$ ，且 $H^{'} = W^{'}$ ）变大了，则sequence length $s_n=H'/N$ 也相应变大了。而预训练好的position embedding是对原先低分辨率（low resolution）图像的位置编码（即原来的sequence length $s_o=H/N$ ），自然无法适应现在的新的sequence length $s_n$ 。作者对此提出的解决方案是对原先的postion embedding进行2D的插值处理。

这我就很困惑了：position embedding是个1-D的向量，怎么做2D的插值呢？查了好久也没找到满意的解释，最后还是去看了torchvision中ViT的实现才明白怎么回事儿，其实很简单。

2. positional embedding如何interpolate

我们用图来表示想做的事情：
在这里插入图片描述

如何把 $s_o$ 变成 $s_n$ 呢？具体做法如下：

假设position_embedding_img的shape为 $b, h, s_o)$ ，其中 $b$ 为batch size，设置 $b = 1$ 。 $h$ 和 $s_o$ 的含义见上面的表格。

首先将position_embedding_img的shape由 $b, h, s_o)$ reshape成（ $b$ , $h$ , $\sqrt{s_o}$ , $\sqrt{s_o}$ ）
然后将后两维 $(\sqrt{s_o}$ , $\sqrt{s_o})$ 使用torch.nn.functinoal.interpolate，插值成： $(\sqrt{s_n}$ , $\sqrt{s_n})$ ，此时position_embedding_img_new的shape为：（ $b$ , $h$ , $\sqrt{s_n}$ , $\sqrt{s_n}$ ）
最后再把position_embedding_img_new reshape成（ $b$ , $h$ , $s_n$ ）

经过上述步骤，我们就将position_embedding_img的 $b, h, s_o)$ 变成了position_embedding_img_new的 $b, h, s_n)$ 。示意图如下（这里设 $b = 1, h = 1$ ）：

在这里插入图片描述

3. 输入的sequence length改变了ViT还能正常前向推断？

在这里插入图片描述

其实到了第二步就已经结束了，但可能有些人（包括我之前）还会有个疑问：之前我们预训练时输入给Transformer Encoder（即上图中红色圈出的部分）的tensor的shape为： $b, s_o, h)$ ，而如果使用高分辨率的img进行微调，那输入到Transformer Encoder的shape变成了： $b, s_n, h)$ ，还可以前向推断吗？Transformer Encoder不需要改内部结构吗？

答案是不需要。原因在于微调时hidden dimension $h$ 的值没有变，为什么这么说呢？我们考虑下Transformer Encoder的内部结构，主要是多头自注意力（multi-head self-attention）和MLP。multi-head self-attention其实就是把输入切分成n个头，分别进行self-attention，然后再把结果concat起来，所以我们以单头自注意力、batch size=1为例，self-attention的大致流程为：

在这里插入图片描述
可以看出，Transformer Encoder中训练的参数： $W_q、W_k、W_v$ 的形状都为 $(h, h)$ ，并不会随着sequence length由 $s_o$ 变为 $s_n$ 而发生改变。

同理，Transformer Encoder中的MLP的input layer的神经元个数也是 $h$ ，和 $s_n$ 无关。

即Transformer Encoder中参数只和hidden embedding的长度 $h$ 有关，和sequence length $s_o、s_n$ 无关。

因此，即使我们输入Transformer Encoder的维度由 $b, s_o, h)$ 变为 $b, s_n, h)$ ，也不会影响ViT的前向推断过程。

如果想看Torchvision官方中关于interpolate代码的细节实现，我放在下面：

def interpolate_embeddings(
    image_size: int,
    patch_size: int,
    model_state: "OrderedDict[str, torch.Tensor]",
    interpolation_mode: str = "bicubic",
    reset_heads: bool = False,
) -> "OrderedDict[str, torch.Tensor]":
    """This function helps interpolating positional embeddings during checkpoint loading,
    especially when you want to apply a pre-trained model on images with different resolution.

    Args:
        image_size (int): Image size of the new model.
        patch_size (int): Patch size of the new model.
        model_state (OrderedDict[str, torch.Tensor]): State dict of the pre-trained model.
        interpolation_mode (str): The algorithm used for upsampling. Default: bicubic.
        reset_heads (bool): If true, not copying the state of heads. Default: False.

    Returns:
        OrderedDict[str, torch.Tensor]: A state dict which can be loaded into the new model.
    """
    # Shape of pos_embedding is (1, seq_length, hidden_dim)
    pos_embedding = model_state["encoder.pos_embedding"]
    n, seq_length, hidden_dim = pos_embedding.shape
    if n != 1:
        raise ValueError(f"Unexpected position embedding shape: {pos_embedding.shape}")

    new_seq_length = (image_size // patch_size) ** 2 + 1

    # Need to interpolate the weights for the position embedding.
    # We do this by reshaping the positions embeddings to a 2d grid, performing
    # an interpolation in the (h, w) space and then reshaping back to a 1d grid.
    if new_seq_length != seq_length:
        # The class token embedding shouldn't be interpolated so we split it up.
        seq_length -= 1
        new_seq_length -= 1
        pos_embedding_token = pos_embedding[:, :1, :]
        pos_embedding_img = pos_embedding[:, 1:, :]

        # (1, seq_length, hidden_dim) -> (1, hidden_dim, seq_length)
        pos_embedding_img = pos_embedding_img.permute(0, 2, 1)
        seq_length_1d = int(math.sqrt(seq_length))
        if seq_length_1d * seq_length_1d != seq_length:
            raise ValueError(
                f"seq_length is not a perfect square! Instead got seq_length_1d * seq_length_1d = {seq_length_1d * seq_length_1d } and seq_length = {seq_length}"
            )

        # (1, hidden_dim, seq_length) -> (1, hidden_dim, seq_l_1d, seq_l_1d)
        pos_embedding_img = pos_embedding_img.reshape(1, hidden_dim, seq_length_1d, seq_length_1d)
        new_seq_length_1d = image_size // patch_size

        # Perform interpolation.
        # (1, hidden_dim, seq_l_1d, seq_l_1d) -> (1, hidden_dim, new_seq_l_1d, new_seq_l_1d)
        new_pos_embedding_img = nn.functional.interpolate(
            pos_embedding_img,
            size=new_seq_length_1d,
            mode=interpolation_mode,
            align_corners=True,
        )

        # (1, hidden_dim, new_seq_l_1d, new_seq_l_1d) -> (1, hidden_dim, new_seq_length)
        new_pos_embedding_img = new_pos_embedding_img.reshape(1, hidden_dim, new_seq_length)

        # (1, hidden_dim, new_seq_length) -> (1, new_seq_length, hidden_dim)
        new_pos_embedding_img = new_pos_embedding_img.permute(0, 2, 1)
        new_pos_embedding = torch.cat([pos_embedding_token, new_pos_embedding_img], dim=1)

        model_state["encoder.pos_embedding"] = new_pos_embedding

        if reset_heads:
            model_state_copy: "OrderedDict[str, torch.Tensor]" = OrderedDict()
            for k, v in model_state.items():
                if not k.startswith("heads"):
                    model_state_copy[k] = v
            model_state = model_state_copy

    return model_state