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若p∈N*，==(p - 1)! ≡ -1 ( mod p )==且p≠1是p是质数的充要条件。
由此，设p∈N*且p≠1，若(p - 1)! + 1 ≡ 0 ( mod p )，即设(p - 1)! + 1 = k, 若p | k，则p为质数。
##证明
充分性
如果“p”不是素数，当p=4时，显然（p-1)!≡6≡2( mod p ), 当p>4时，若p不是完全平方数，则存在两个不等的因数a，b使得ab=p，则(p-1)!≡nab≡0( mod p );若p是完全平方数即p=k2，因为p>4,所以k>2，(k,2k)<p，(p-1)!≡n(k*2k)≡2nk2≡0( mod p )。
必要性
若p是素数,取集合 A={1,2,3,…p -1}; 则A 构成模p乘法的简化剩余系,即任意i∈A ,存在j∈A,使得:
( i j ) ≡ 1 ( mod p )那么A中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况
x2 ≡ 1 ( mod p )
解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p )
其余两两配对;故而
( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )
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