[区块链]可数集与不可数集

说明

这篇博客是学习这本书记下的笔记。

1. 集合的基数

集合 $A$ 的元素数量称为其基数或者势，记为 $|A|$。
例如：
A = { 1 , 3 , 5 , 7 } . A = \left\{1,3,5,7 \right\}. A={1,3,5,7}.
因为 $A$ 中元素的个数为 4，因此 $A$ 的基数为 $|A|=4$。

2. 有限集

基数为有限值的集合称为有限集。
有限集 $A$、$B$，它们的基数之间的关系，可能是下列之一：
$$|A|<|B|,|A|=|B|,|A|>|B|.$$

特别地，若 $A$ 是 $B$ 的子集（$A?B$），则 $|A|\le |B|$；若 $A$ 是 $B$ 的真子集（$A?B$），则 $|A|<|B|$。

3. 无限集

基数为无限值的集合称为无限集。

（有趣！！！） 考虑下面一个问题：正整数集 ${\mathbb{N}}^{+}$，令集合 $A_1$ 为所有正奇数组成的集合，集合 $A_2$ 为所有正偶数组成的集合。
$$\begin{gathered} {\mathbb{N}}^{+}=A_1\cup A_2, \\ {A}_1?{\mathbb{N}}^{+}, \\ {A}_2?{\mathbb{N}}^{+}, \end{gathered}$$
那么，是否有 $|A_2|<|{\mathbb{N}}^{+}|$？

错误思考：

正整数包含正奇数和正偶数，$A_2$ 中的所有数都在 ${\mathbb{N}}^{+}$ 中，且 ${\mathbb{N}}^{+}$ 比 $A_2$ 多出正奇数集 $A_1$。因此 ${\mathbb{N}}^{+}$ 中的数比 $A_2$ 中的数多，也就是有 $|A_2|<|{\mathbb{N}}^{+}|$。

正确思考：

集合 ${\mathbb{N}}^{+}$ 中的任意元素 $i$，都有 $A_2$ 中的元素 $2i$ 与之对应。因此
$$|A_2|=|{\mathbb{N}}^{+}|.$$
同理

集合 $A_1$ 中的任意元素 $i$，都有 $A_2$ 中的元素 $i+1$ 与之对应。因此
$$|A_1|=|A_2|.$$

*定义：
对于集合 $A$ 和 $B$，如果集合 $A$ 中的任意元素 $a$，在集合 $B$ 中都有唯一的元素 $b$ 通过某种映射关系与之对应，即存在如下的双射函数（一对一函数）
$$b=f(a),a\in A,b\in B,$$
则称这两个集合的基数相等。

这样，也就有了上面思考问题得到的结论。
$$i\to 2i,i\in {\mathbb{N}}^{+},2i\in A_2,$$
正整数集 ${\mathbb{N}}^{+}$ 和正偶数集 $A_2$ 基数相等。
$$i\to i+1,i\in A_1,i+1\in A_2,$$
正奇数集 $A_1$ 和正偶数集 $A_2$ 基数相等。

4. 可数集与不可数集

*定义
如果存在从正整数集 ${\mathbb{N}}^{+}$ 到集合 $A$ 的双射关系
$$f:{\mathbb{N}}^{+}\to A$$
则集合 $A$ 是可数的。

• 任意可数集在数轴上的 “长度” 都为 0。
• 不可数集在数轴上的 “长度” 大于 0。

参考

1. 雷明. 机器学习的数学（Mathematics of Machine Learning）. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-54293-96. 第 1.1.1 节 可数集与不可数集
2. Wikipedia: Subset.
3. 百度百科: 子集.
4. 百度百科: 真子集.