第2.5章
本章主要讲一些第一章和第二章衔接的内容。
通用不确定性原理（generalized uncertainty principle）
对于可观测量
A
A
A，令
f
=
(
A
^
?
?
A
?
)
Ψ
f=(\hat A-\lang A\rang)\Psi
f=(A^??A?)Ψ，则
A
A
A方差/不确定性为
σ
A
2
=
?
f
∣
f
?
\sigma_A^2=\lang f|f\rang
σA2?=?f∣f?。
对于
B
B
B，令
g
g
g，同样有
σ
B
2
=
?
g
∣
g
?
\sigma_B^2=\lang g|g\rang
σB2?=?g∣g?。
根据柯西施瓦茨不等式，
σ
A
2
σ
B
2
=
?
f
∣
f
?
?
g
∣
g
?
≥
∣
?
f
∣
g
?
∣
2
\sigma_A^2\sigma_B^2=\lang f|f\rang\lang g|g\rang\ge|\lang f|g\rang|^2
σA2?σB2?=?f∣f??g∣g?≥∣?f∣g?∣2。
对任意复数
z
z
z，
∣
z
∣
2
=
R
e
(
z
)
2
+
I
m
(
z
)
2
≥
I
m
(
z
)
2
=
[
1
2
i
(
z
?
z
?
)
]
2
|z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2\ge Im(z)^2=[\frac{1}{2i}(z-z^*)]^2
∣z∣2=Re(z)2+Im(z)2≥Im(z)2=[2i1?(z?z?)]2。让在
y
y
y轴上面的转下来。
如果
z
=
?
f
∣
g
?
z=\lang f|g\rang
z=?f∣g?就意味着
∣
?
f
∣
g
?
∣
2
≥
[
1
2
i
(
?
f
∣
g
?
?
?
g
∣
f
?
)
]
2
|\lang f|g\rang|^2\ge[\frac{1}{2i}(\lang f|g\rang-\lang g|f\rang)]^2
∣?f∣g?∣2≥[2i1?(?f∣g???g∣f?)]2。
又
?
f
∣
g
?
=
?
(
A
^
?
A
ˉ
)
Ψ
∣
(
B
^
?
B
ˉ
)
Ψ
?
=
?
Ψ
∣
(
A
^
?
A
ˉ
)
(
B
^
?
B
ˉ
)
Ψ
?
中跳公式，见升降算符的性质
=
?
Ψ
∣
A
^
B
^
Ψ
?
?
B
ˉ
?
Ψ
∣
A
^
Ψ
?
?
A
ˉ
?
Ψ
∣
B
^
Ψ
?
+
A
ˉ
B
ˉ
?
Ψ
∣
Ψ
?
=
A
^
B
^
￣
?
A
ˉ
B
ˉ
\begin{aligned}\lang f|g\rang&=\lang(\hat A-\bar A)\Psi|(\hat B-\bar B)\Psi\rang \\&=\lang \Psi|(\hat A-\bar A)(\hat B-\bar B)\Psi\rang \quad 中跳公式，见升降算符的性质 \\&=\lang \Psi|\hat A\hat B\Psi\rang-\bar B\lang \Psi|\hat A\Psi\rang-\bar A\lang \Psi|\hat B\Psi\rang+\bar A\bar B\lang \Psi|\Psi\rang \\&=\overline{\hat A\hat B}-\bar A\bar B \end{aligned}
?f∣g??=?(A^?Aˉ)Ψ∣(B^?Bˉ)Ψ?=?Ψ∣(A^?Aˉ)(B^?Bˉ)Ψ?中跳公式，见升降算符的性质=?Ψ∣A^B^Ψ??Bˉ?Ψ∣A^Ψ??Aˉ?Ψ∣B^Ψ?+AˉBˉ?Ψ∣Ψ?=A^B^?AˉBˉ?
同样，
?
g
∣
f
?
=
B
^
A
^
￣
?
A
ˉ
+
B
ˉ
\lang g|f\rang=\overline{\hat B\hat A}-\bar A+\bar B
?g∣f?=B^A^?Aˉ+Bˉ。
因此
?
f
∣
g
?
?
?
g
∣
f
?
=
[
A
^
,
B
^
]
￣
\lang f|g\rang-\lang g|f\rang=\overline{[\hat A,\hat B]}
?f∣g???g∣f?=[A^,B^]?。
最后就是
σ
A
2
σ
B
2
≥
(
1
2
i
[
A
^
,
B
^
]
￣
)
2
\sigma_A^2\sigma_B^2\ge \left(\frac{1}{2i}\overline{[\hat A,\hat B]}\right)^2
σA2?σB2?≥(2i1?[A^,B^]?)2
?
f
∣
g
h
?
=
?
g
?
f
∣
h
?
\lang f|gh\rang=\lang g^\dagger f|h\rang
?f∣gh?=?g?f∣h?
|