文章目录
0.数学模型的概念
- 什么是数学模型？
描述控制系统的输入变量、输出变量以及内 部变量之间动态关系的数学表达式。 - 为什么要建立数学模型？
对系统进行定量分析和设计的基础。 （例如，求解输出量，计算性能指标） - 数学模型的建立方法
（1）分析法：分析系统各部分的运动机理，根据它们依 据的物理规律、化学规律等列些运动方程。
（2）实验法：
人为地给系统输入端施加某种测试信号，记录其输 出响应；根据记录的输入、输出数据，用适当的数学模 型去逼近黑箱，从而建立数学模型。
（实验法所建立的模型未必能描述系统内部的运行 机理，但能描述输入量与输出量之间的动态关系。）
这也称为系统辨识方法。
4. 数学模型的类型
1)微分方程：时域
其它模型的基础 直观 求解繁琐
2)传递函数：复频域
微分方程拉氏变换后的结果
1.控制系统的时域数学模型（微分方程）
【例题1】
【例题2】
线性微分方程的一般特征
实际物理系统的线性微分方程一般具有以下形式：
叠加原理包括：齐次性+可加性
非线性微分方程的线性化
在实际工程中，物理元件都具有不同程度的非线性。非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以将非线性方程近似地转化为线性微分方程，使对系统动态特性的分析大为简化。
线性化的方法
（1）忽略弱非线性因素 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统非线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略
（2）在平衡点附近的小偏差法（切线法，增量线性化法）实质是在一个很小的范围内，用直线来代替非线性曲线。
方程中含有变量或变量的导数的非线性函数线性化
线性微分方程如何求解
拉普拉斯例题传送门
2.控制系统的复数域数学模型
2.1传递函数的定义
直接得
2.2传递函数的性质
（1）传递函数与微分方程一一对应；
由传递函数也可以得到微分方程，d/dt和s相互替换
（2）传递函数表征了系统本身的动态特性。
传递函数只取决于系统本身的结构和参数，而与输入和初始条件等外部因素无关。
（3）实际系统m ≤ n,分子分母多项式的系数均为实数；
（4）传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应g(t)， g(t)= L-1[G(s)]。
2.3传递函数的常用表示形式
- 传递函数的有理分式形式
- 传递函数的零、极点形式（“首1”的形式）
- 传递函数的典型环节形式（“尾1”的形式）
2.4传递函数的零、极点对输出的影响
1.系统的自由运动属性（模态）
2. 极点决定了系统自由运动属性（模态）
- 极点位置决定了系统响应的稳定性和快速性
（1）极点实部的负或正，决定系统是否稳定。
（2）极点实部的幅值（极点距离虚轴的位置）决定系统响应的快速性。
- 零点位置决定了各个运动模态所占的比例
（1）影响系统响应曲线的形状，影响响应的快速性。
（2）一般，零点离极点较远时，该极点对应的模态所占比例较大。反之亦然。因此，零点有阻断极点模态“激发”的作用。
2.5例题
3.控制系统的结构图与信号流图
结构图绘制步骤
根据每个元件的拉氏变换方程，绘出其单元结构图。置系统的输入于最左端，输出于最右端，按照信号的流向，把各单元结构图中相同的信号连接起来，就得到整个系统的结构图.
结构图的等效变换
(1) 串联
(2) 并联
(3) 反馈
(4) 比较点和引出点的移动
一般不宜交换比较点和引出点。
“-”号可以在信号线上移动，但不能越过比较点或引出点。
结构图例题
信号流图的概念和组成
组成
节点：系统中的变量（信号），用“ ”表示，同时具有叠加的作用
支路：连接节点，标上支路增益，有向线段，表示了一个信号对另一个信号的函数关系，用增益或传递函数表示（相当于乘法器）。
若增益为负数，标上“－”，为正则略。支路是有方向性的。
信号流图中的常用术语
梅森公式
梅森公式概念
一般采用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s)
梅森公式也可以直接用于结构图
P: 输入节点到输出节点之间的传递函数（也称总增益）。
n: 从输入节点到输出节点的前向通路的总数。
Pk ：从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益。
? ：信号流图的特征式：
?k 第k条前向通路特征式的余因子，等于流图特
征式 ?中除去与第k条前向通路相接触的回路
增益项（相当于令其等于0）以后的余项式。
梅森公式例题
【例题1】
【例题2】
【例题3】
【例题4】
闭环系统的传递函数
