[嵌入式]1. 分治法实例—芯片测试

1. 问题描述

• 输入：n片芯片，其中好芯片至少比坏芯片多1片
• 问题：设计一种测试方法，通过测试从n片芯片中挑出1片好芯片
• 要求：使用最少的测试次数

2. 解题思路

1. 判定芯片A的好坏

• 问题：给定芯片A，判定A的好坏
• 方法：用其余n-1片芯片对A测试
  

2. 蛮力算法

• 算法思想：任取1片测试，如果是好芯片，则测试结束；如果是坏芯片，则抛弃，再从剩下芯片中任取1片测试，直到得到1片好芯片
• 时间估计：O($n^2$)
  • 若第1片为坏芯片，则最多测试n-2次
  • 若第2片为坏芯片，则最多测试n-3次;
  • …

3. 分治算法

• 算法思想：假设n为偶数，将n片芯片两两一组做测试淘汰，剩下芯片构成子问题，进入下一轮分组淘汰
  • 淘汰规则
    • “好，好”——任留1片，进入下轮
    • 其他情况——全部抛弃
  • 递归出口：n $\le$ 3
    • 若为3片芯片（2好1坏），则1次测试可得到好芯片
    • 若为1或2片芯片（必为好），不再需要测试
  • 命题：当n是偶数时，在上述淘汰规则下，经过一轮淘汰，剩下的好芯片比坏芯片至少多1片
    
• 算法思想：若n为奇数时，按上述处理可能会出问题
  
  • 解决办法：当n为奇数时，增加一轮对轮空芯片的单独测试。
    • 若该芯片为好芯片，则算法结束
    • 若该芯片为坏芯片，则淘汰该芯片
• 伪码描述
  

3. 时间复杂度分析

• 设输入规模为n，每轮淘汰后，芯片数至少减半，测试次数（含轮空处理）：O(n)
• 时间复杂度： W(n) = W(n/2) + O(n) , W(3)=1, W(2)=W(1)=0, 可得，W(n)=O(n)