[嵌入式]【C语言】一种简单的S形加速曲线的推导与实现

1 前言

手上有个42步进电机，可是要么龟爬要么光叫不跑，百度了才知道要有个加速过程，而各种加速中又属S形加速最棒，那我当然要一步到位啦。 以下图片可以很好的展示S形加速的特点：

网图侵删。

2 理论分析

2.1 选择曲线

S形曲线有很多，有大佬做了多种曲线的对比：速度规划(梯形、余弦、多项式、7段S型、7段修正S型、15段S型、31段S型)

其中很多分段函数一看就很复杂，需要的参数也很多，我们选一种简单的，仅需要一个表达式就能确定的加速曲线：

2.2 计算函数方程

首先确定三个输入参数，也就是函数中的常量：
$$起始速度V_0??目标速度V_1??加速时间T$$
由图可知加速度为二次函数，且极值点$t=\frac{T}{2}$，所以$a?t$表达式为：
$$a(t)=k(t?\frac{T}{2}{)}^2+n$$
因为函数图像过原点，所以带入$a=0,t=0$可得：
$$n=\frac{?k{T}^2}{4}$$
所以 加速度公式 为：
$$a(t)=k{t}^2?kTt$$
对时间一次积分获得速度：
$$v(t)=\frac{1}{3}k{t}^3?\frac{1}{2}kT{t}^2+C_1$$
二次积分获得位移：
$$s(t)=\frac{1}{12}k{t}^4?\frac{1}{6}kT{t}^3+C_{1}t+C_2$$
将三个常量带入速度表达式，可得：
$$\{\begin{array}{l}{V}_0=C_1\\ V_1=\frac{1}{3}k{T}^3?\frac{1}{2}kT?T^2+C_1\end{array}$$
解之可得系数$k$：
$$k=\frac{6(V_0?V_1)}{T^3}$$
以及 速度公式 ：
$$v(t)=\frac{1}{3}k{t}^3?\frac{1}{2}kT{t}^2+V_0$$
又因为时间为0时位移为0，所以可以获得 位移公式：
$$s(t)=\frac{1}{12}k{t}^4?\frac{1}{6}kT{t}^3+V_{0}t$$

2.3 单位分析

因为使用场景是单片机控制步进电机，所以常规的速度单位$m/s$用在这里不太合适。

在没有细分的情况下，单片机每发1个脉冲，电机前进1步，对于步距角1.8°的步进电机来说，就是旋转$\frac{1}{200}$圈。所以速度单位选择"个每秒"，也就是Hz。

加速过程秒级显然是我们不可接受的，微秒级的话步进电机也受不了，所以加速的时间单位选择ms。

综上：
加速度$a$的单位为(Hz/ms)
速度v的单位为(Hz)
位移s的单位为(1000个)

显然位移单位不合常理，我们将位移单位化为(个)，可得 位移公式2：
$$s(t)=\frac{1}{12000}k{t}^4?\frac{1}{6000}kT{t}^3+\frac{1}{1000}{V}_{0}t$$

2.4 模拟验证

假设，起始速度60rpm，目标速度4500rpm，800脉冲转一圈，加速时间50ms，换算可得：
$$\begin{gathered} V_0=800Hz \\ {V}_1=60000Hz \\ T=50ms \end{gathered}$$
通过Excel仿真计算可得曲线：

3 两种代码实现

通过速度与时间关系以及速度与位移关系，给出在stm32的两种实现方法，代码在我的Gitee。

3.1 速度与时间关系

3.1.1 原理

对于给定的时间T，将0到T之间的每一ms带入到速度公式，计算出加速度表。使用两个定时器，一个提供1ms定时，另一个提供PWM输出，开更新中断，在1ms中断中修改PWM的频率实现速度曲线，在更新中断中记录脉冲次数。

3.1.2 优点

1.计算速度相对快很多，且不受细分以及速度差影响，实测计算不到2ms。
2.占用内存少，速度表仅需要开T个浮点数。

3.1.3 缺点

绝大部分情况下，达到目标速度时脉宽小于1ms，导致并不能准点进入减速，所以实际上的减速曲线是如下两种情况：

要么不能完成完整的减速流程，要么多余几十个脉冲以$V_0$走完。

3.1 速度与位移关系

3.1.1 原理

将给定的时间T，带入距离公式，得到总加速脉冲数量$S_0$，将0到$S_0$之间所有整数带入位移公式，解一元四次方程，对于每一个s，取唯一一个$V_0$到$V_1$之间的实根，即每一个脉冲对应的速度，获得速度表。在PWM更新中断中修改下一次脉冲的速度，同时记录脉冲次数。

3.1.2 优点

1.加减速流程能够完整完成。
2.仅使用一个定时器。

3.1.3 缺点

计算非常非常耗时间，在stm32f207实测记录如下：
1.使用double类型计算60转加速到4500转，细分x4，时间50ms，用时800ms。
2.将解方程用的double也全都换成float，用时670ms。
3.继续把所有sqrt换成百度的高效sqrt。用时620ms。
4.改成两个脉冲改变一次频率。计算用时320ms。
5.改成5个脉冲改一次。计算用时124ms。
6.将计算速度时的三次方和平方调用pow处理，发现速度还更慢了。计算用时165ms。
7.回到步骤3，将目标速度改为300.计算用时50ms。
8.细分再改成x1。计算用时14ms。
可见计算速度受速度差以及细分影响很大。

另外速度越快，细分越高，所需要的内存越多。

一种解决方式：如果每次的起始速度和目标速度都一样，仅前进距离不同，那么就可以在程序开始时直接算出这个表，后续电机动作不必要再次计算，直接读表即可。

4 测试验证

测试未发现问题，第一种方法问题也不大。

5 参考文献

1.摆线/三次多项式过渡的匀加速度轨迹
2.速度规划(梯形、余弦、多项式、7段S型、7段修正S型、15段S型、31段S型)
3.步进电机S型曲线加减速算法与实现
4.动态加速度信号的时频域积分方法
5.《电机应用开发实战指南—基于STM32》----野火