[嵌入式]数字电路——加法器

我们之前了解了门，电路就是门的组合。

电路又可以分为两大类，组合电路和时序电路。

但作为计算机和编程的知识铺垫，我们要了解的是组合电路的使用方法。所以本篇讲的是组合电路的运算（电路的布尔运算。）

推导过程略看也行。建议还是看看，了解一下。

组合电路（可略过）

输出仅由输入值确定的电路

把一个门的输出作为另一个门的输入，就可以把门组合电路.

如上图，两个与门的输出被用作或门的输入。

注意：

1. A同时是两个与门的输入。
2. 两条交叉的连接线的交汇处没有连接点，应该看做是一条连接线跨做了一条，他们互不影响

电路分析 我们倒着看,按照门来分析

1. 如果X=1则说明，D和E至少有一个是1.
2. 如果D是1，则AB都必须是1
3. 如果E是1，则AC都必须是1

真值表如下

三个输出就是8种组合哦（ 2³）.中间显示了电路中间值（D和E）。

此时我们可以用布尔代数来表示电路。因为电路是一组互相关联的门，所以表示电路的布尔表达式是布尔运算的组合。

在这个电路中，有两个表达式。每个运算的输出是或运算的输入。

因此~（AB+AC） 这个布尔表达式表示了这个电路

详细点就是

1. （AB=D AC=E）
2. D+E=X
3. 然后参考真值表就行。

我们现在从另一个方向入手，从布尔表达式绘制对应的真值表和逻辑框图。

例如 A(B+C) 这个表达式中，两个输入值B和C进行或运算。这个结果和A作为与运算的输入，以产生结果。对应的逻辑框图如下

_{《计算机科学概论》P69}

分析：（门关系）

1. A（B+C）为1，则A与B+C都必须为1
2. B+C为1 则 B和C不能全部为0
3. A为0则输出为0（A（B+C））

对应的真值表如下

我们可以使用真值表任一行去验证结果。
比如第三行
A=0 B =1 C=0 B+C=1+0=1（或门，有一个输出1就行） A(B+C)=0（B+C=1）=0
(与门，两个输出必须同为1才输出1，否则输出0)

逻辑代数(布尔代数)所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。

比较这两个例子的最后的一列，完全一致。这就是电路等价

电路等价：对应每个输入值组合，两个电路都生成完全相同的输出

在了解了上面的基础知识后，我们就可以利用可证明数学的法则来设计逻辑电路。

德·摩根定律:
这个定律声明，对两个变量的与操作的结果进行非操作，等于对每个变量进行非操作后再对他们进行或操作。
也就是说对与门的输出求逆，等价于先对每个信号求逆，然后再把他们传入或门
(AB)‘=A’+B’
这个定律的第二部分是，对两个变量的或操作的结果进行非操作，等于对每个变量进行非操作后在对它们进行与操作。
就是对或门的输出求逆，等价于先对每个信号求逆，在把他们传入到与门：
（A+B）‘=A’B’

加法器

在数字电路中，常用的组合逻辑电路有加法器、编码器、译码器等，这里主要介绍加法器

计算机能执行的最基本运算就是把两个数相加。那么是如何通过组合电路来实现的呢？这就是本篇重点呀~。

与所有计数系统中的加法一样，对两个二进制数求和的结果可能产生进位值。二进制中，1+1=10.计算两个数位并生成正确进位的电路叫半加器。

加法器：对二进制执行加法运算的电路
半加器：计算两个数位并生成正确进位的电路
全加器：计算两个数位的和。并考虑进位输入的电路

半加器

求二进制A和B的的所有可能，真值表如下：

注意：1+1=10 （二进制就是2用10表示，单个门电路只输出1位，所以和为0，进位为1）

如果把和与进位列同各种门的输出作比较，会发现~——和对应异或门，进位对应与门

于是此半加器表示如下：

<sub>上图截取（https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d）

上图截取（https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d）</sub>
布尔表达式如下：

								 和=A⊕B（异或门）
							    进位=AB	（与门）	

异或门真值表

注意：半加器不会把进位（进位输入）考虑在计算之内，所以半加器智能计算两个位数的和，而不能计算两个多位二进制数的和。

计算01+01的和，表示如下 （低位和低位相加，高位和高位相加。上高下底。）

_{上图截取（https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d）}

现在这个值就不对了呀！下面得到的值没有传给上面。即无法接受进位。

_{上图截取（https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d）}

全加器

全加：实现两个一位二进制数相加，且考虑来自低位的进位。

_{上图截取（https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d）}

可以用两个半加器构造一个全加器。求和的输入必须是进位输入以及两个输入值的和。也就是说，把从半加器得到的和与进位输入相加。

_{上图截取（https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d）}
分析一下值哈（具体电路没必要了），这个电路有3个输入，即原始的数位A和B以及进位输入Ci。因此此真值表有8行（3个输入 2³=8，有问题吗？没有问题）

最后简化公式。无视就行
Y=（A⊕B）⊕Ci
Co=AB+Ci（A⊕B）

_{上图截取（https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d）}

8个全加器组合起来就可以计算8位的二进运算了哦~ 8位二进制就是1字节了~。

两个八位值相加，需要复制8次全加器电路。一个位值得输出将作用于下一个位值得进位输入。最右边的进位输入是0，最左边的进位输出将被舍弃（通常会生成溢出错误，必然的，我就8个加法器也就能显示8位，到第9位可不就是超了~）

参考资料

1. 编程前你最好了解的基本硬件和计算机基础知识（数字电路） https://www.bilibili.com/video/BV1Hi4y1t7zY?p=5&vd_source=743ccd142aebf9f406282dcc02bc441d
2. 《计算机科学概论 第5版》